中考数学圆的综合综合题汇编及答案解析.doc

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1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出ACBD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DEAC，ADE=CDE，进而得出CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（1）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四

2、边形以AD为直径的半圆过点E，AED=90，即有ACBD，四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，ADC为等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如图2，过点C作CGAD，垂足为G，连接FOBF切圆O于点F，OFAD，且，易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30，ADE=15连接OE，则AOE=2ADE=30，点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键2如图，CD为O的直径，点B在O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延

3、长线交于点A，OE交BC于点F.（1）求证：OEBD；（2）当O的半径为5，时，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB， CD为O的直径 ， .AE是O的切线， . .OB、OC是O的半径，OB=OC. . .，. OEBD.（2）由（1）可得sinC= DBA= ，在Rt中, sinC =,OC=5，CBDEBO. .OEBD，CO=OD，CF=FB.3如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD

4、AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）若半圆O的半径为6，求的长【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2）【解析】试题分析：（1）结论：DE是O的切线首先证明ABO，BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：四边形OABC是平行四边形，ABOC.D=90，OCE=D=90，即OCDE，直线CE与半圆O相切（2）由（1）可知：COF=60，OC=OF，OCF是等边三角形，AOC=

5、120的长为=4.4如图，AD是ABC的角平分线，以AD为弦的O交AB、AC于E、F，已知EFBC（1）求证：BC是O的切线；（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；（3）在（2）的条件下，若BAC=60，求tanAFE的值及GD长【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3） 【解析】试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到1=2，得到，根据垂径定理得到ODEF，根据平行线的性质得到ODBC，于是得到结论；（2）连接DE，由，得到DE=DF，根据平行线的性质得到3=4，等量代换得到1=4，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过F作FHBC于H，由已知条件得到1=2=3=4=30，解

6、直角三角形得到FH=DF=6=3，DH=3，CH=，根据三角函数的定义得到tanAFE=tanC=；根据相似三角形到现在即可得到结论试题解析：（1）连接OD，AD是ABC的角平分线，1=2，ODEF，EFBC，ODBC，BC是O的切线；（2）连接DE，DE=DF，EFBC，3=4，1=3，1=4，DFC=AED，AEDDFC，即，DE2=36，DE=6；（3）过F作FHBC于H，BAC=60，1=2=3=4=30，FH=DF=3，DH=3，CH=，EFBC，C=AFE，tanAFE=tanC=；4=2C=C，ADCDFC，5=5，3=2，ADFFDG，即，DG=点睛：本题考查了切线的判定、圆周

7、角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.5如图，O的直径AB26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为O上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”(1)若BPCDPC60，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若的长为，求“回旋角”CPD的度数；(3)若直径AB的“回旋角”为120，且PCD的周长为24+13，直接写出AP的长【答案】(1)CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”CPD的度数为45；(3)满足条件的AP的长为3或23【解析】【分析】（1）由CPD、BPC得到APD，得到

8、BPCAPD，所以CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出COD45，作CEAB交O于E，连接PE，利用CPD为直径AB的“回旋角”，得到APDBPC，OPEAPD，得到OPE+CPD+BPC180，即点D，P，E三点共线，CEDCOD22.5，得到OPE9022.567.5，则APDBPC67.5，所以CPD45；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OGCD于G，利用sinDOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OHDF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；

9、在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】CPD是直径AB的“回旋角”，理由：CPDBPC60，APD180CPDBPC180606060，BPCAPD，CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，AB26，OCODOA13，设CODn，的长为，n45，COD45，作CEAB交O于E，连接PE，BPCOPE，CPD为直径AB的“回旋角”，APDBPC，OPEAPD，APD+CPD+BPC180，OPE+CPD+BPC180，点D，P，E三点共线，CEDCOD22.5，OPE9022.567.5，APDBPC67.5，CPD45，即：“回旋角”CPD的度数为45，(3)当点P在半径OA上时，如图2

10、，过点C作CFAB交O于F，连接PF，PFPC，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，直径AB的“回旋角”为120，APDBPC30，CPF60，PCF是等边三角形，CFD60，连接OC，OD， COD120，过点O作OGCD于G，CD2DG，DOGCOD60，DGODsinDOG13sin60CD，PCD的周长为24+13，PD+PC24，PCPF，PD+PFDF24，过O作OHDF于H，DHDF12，在RtOHD中，OH在RtOHP中，OPH30，OP10，APOAOP3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP3，APABBP23，即：满足条件的AP的长为3或23【点睛】本题是新定

11、义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论6如图，ABC中，ACBC10，cosC，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的P与边AB的另一个交点为D，过点D作DECB于点E（1）当P与边BC相切时，求P的半径（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）设P与边BC相切

12、的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，即可求解；（2）首先证明PDBE，则，即：，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AGEPBD，即：ABDB+ADAG+AD4，即可求解【详解】（1）设P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，解得：R；（2）在ABC中，ACBC10，cosC，设APPDx，AABC，过点B作BHAC，则BHACsinC8，同理可得：CH6，HA4，AB4，则：tanCAB2，BP，DAx，则BD4x，如下图所示，PAPD，PADCABCBA，tan2，则cos，si

13、n，EBBDcos（4x）4x，PDBE，即：，整理得：y；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PGPQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，点Q是弧GD的中点，DGEP，AG是圆P的直径，GDA90，EPBD，由（2）知，PDBC，四边形PDBE为平行四边形，AGEPBD，ABDB+ADAG+AD4，设圆的半径为r，在ADG中，AD2rcos，DG，AG2r，+2r4，解得：2r，则：DG5010，相交所得的公共弦的长为5010【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题

14、用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大7如图，已知中，点是边上一点（不与重合），以为直径作，过作切于，交于.（1）若的半径为2，求线段的长；（2）若，求的半径；（3）如图，若，点关于的对称点为点，试求、两点之间的距离.【答案】(1)；(2)的半径为3；(3)、两点之间的距离为.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出OEC=90，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得OECBCA，得到=，即，解得即可；（3）证得D和M重合，E和F重合后，通过证得GBEABC，即，解得即可【详解】(1)如图，连结.切于，.，半径为2，.；(2)设半径为.在中，. ，.切于，.，.，解

15、得.的半径为3；(3)连结、，设交于点，由对称性可知，.又，.切于，.又，.又，.点与点重合.、三点在同一条直线上. 连结、，是直径，即.又，.，、三点在同一条直线上. 、两点重合.，.，即.故、两点之间的距离为.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.8如图，直角坐标系中，直线分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.（1）求直线AB的函数表达式.（2）若点D在第一象限，且tanODC=，求点

16、D的坐标. 【答案】（1）；（2）D（，）.【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）连结BC，作DEOC于点E，根据圆周角定理可得OBC=ODC，由tanODC=可求出OC的长，进而可得AC的长，利用DAC的三角函数值可求出DE的长，即可得D点纵坐标，代入直线AB解析式求出D点横坐标即可得答案.【详解】（1）A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，解得，直线AB的函数表达式为y=x+6.(2)连结BC，作DEOC于点E，BOC=90，BC为P的直径，ADC=90，OBC=ODC，tanODC=，OB=6，OA=8，OC=10，AC=18，AB=10

17、，cosDAC=，sinDAC=，,，D点在直线AB上，解得：，D（，）【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握直径所对的圆周角等于90及正切、正弦、余弦等三角函数的定义是解题关键.9如图1，D是O的直径BC上的一点，过D作DEBC交O于E、N，F是O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，CP（1）求证：PA是O的切线；（2）若A30，O的半径为4，DM1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与BFM相似，求DH的长度【答案】（1）证明

18、见解析；（2）PM42；（3）满足条件的DH的值为 或【解析】【分析】（1）如图1中，作PHFM于H想办法证明PFH=PMH，C=OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；（3）分两种情形当CDHBFM时，当CDHMFB时，分别构建方程即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，作PHFM于H PDAC，PHMCDM90，PMHDMC，CMPH，CFPM，HPFHPM，HFP+HPF90，HMP+HPM90，PFHPMH，OFOC，COFC，C+CMDC+PMFC+PFH90，OFC+PFC90，OFP90，直线PA是O的切线 （2）解：如图1中，

19、A30，AFO90，AOF60，AOFOFC+OCF，OFCOCF，C30，O的半径为4，DM1，OA2OF8，CDDM ，ODOCCD4 ，ADOA+OD8+4 12 ，在RtADP中，DPADtan30（12 ） 4 1，PMPDDM4 2（3）如图2中，由（2）可知：BFBC4，FMBF4 ，CM2DM2，CD ，FMFCCM42，当CDHBFM时， ， ，DH 当CDHMFB时， ，DH ，DN ，DHDN，符合题意，综上所述，满足条件的DH的值为 或【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考

20、问题.10如图，AB是O的直径，ACB的平分线交AB于点D，交O于点E，过点C作O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长【答案】(1)见解析 (2) EC= AE=【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE利用等角的余角相等，证明PCD=PDC即可；（2）如图2中作EHBC于H，EFCA于F首先证明RtAEFRtBEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12x，推出x=，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OEAB 直径，A

21、CB=90，CE平分ACB，ECA=ECB=45，=，OEAB，DOE=90PC是切线，OCPC，PCO=90OC=OE，OCE=OECPCD+OCE=90，ODE+OEC=90，PDC=ODE，PCD=PDC，PC=PD（2）如图2中作EHBC于H，EFCA于FCE平分ACB，EHBC于H，EFCA于F，EH=EF，EFA=EHB=90=，AE=BE，RtAEFRtBEH，AF=BH，设AF=BH=xF=FCH=CHE=90，四边形CFEH是矩形EH=EF，四边形CFEH是正方形，CF=CH，5+x=12x，x=，CF=FE=，EC=CF=，AE=点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题