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1、专题训练 (四边形)(120分钟120分)一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)1.(2019益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是()A.360B.540C.720D.900【解析】选D.将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和为:180+180=360;将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和为:180+360=540;将矩形沿一组对边剪开,得到两个四边形,两个多边形的内角和为:360
2、+360=720.2.(2019眉山中考)如图,EF过ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为()A.14B.13C.12D.10【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,周长为18,所以AB=CD,BC=AD,OA=OC,ADBC,所以CD+AD=9,OAE=OCF,在AEO和CFO中,所以AEOCFO(ASA),所以OE=OF=1.5,AE=CF,则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.3.若一个多边形的每一个外角都等于40,则这个多边形的边数是
3、()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.36040=9,这个多边形的边数是9.4.如图,四边形ABCD,AEFG是正方形,点E,G分别在AB,AD上,连接FC,过点E作EHFC交BC于点H.若AB=4,AE=1,则BH的长为()A.1B.2C.3D.3【解析】选C.在正方形ABCD与正方形AEFG中,EFAGBC,又EHFC,四边形EFCH是平行四边形,HC=EF=1,BH=3.5.(2019菏泽东明模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.BEDCC.ADB=90D.CE
4、DE【解析】选B.因为四边形ABCD为平行四边形,所以ADBC,AD=BC,又因为AD=DE,所以DEBC,且DE=BC,所以四边形BCED为平行四边形;A.因为AB=BE,DE=AD,所以BDAE,所以DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B.因为对角线互相垂直的平行四边形为菱形,不一定为矩形,故本选项符合题意;C.因为ADB=90,所以EDB=90,所以DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D.因为CEDE,所以CED=90,所以DBCE为矩形,故本选项不符合题意.6.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则ACP的度数是A.45B.22.5C.67.5D.75【解析】选
5、B.四边形ABCD是正方形,DBC=BCA=45,BP=BC,BCP=BPC=67.5,ACP=BCP-BCA=67.5-45=22.5.7.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若四边形EFGH为菱形,则对角线AC,BD应满足的条件是()A.ACBDB.AC=BDC.ACBD且AC=BDD.不确定【解析】选B.满足的条件应为:AC=BD.理由如下:E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,在ADC中,HG为ADC的中位线,所以HGAC且HG=AC;同理EFAC且EF=AC,同理可得EH=BD,则HGEF且HG=EF,四边形EFGH为平行四边形
6、,又AC=BD,所以EF=EH,四边形EFGH为菱形.8.(2019胶州市一模)如图,在ABCD中,AB=4,BC=5,ABC=60,对角线AC,BD交于点O,过点O作OEAD交AD于点E,则OE等于()A.B.2C.2D.2.5【解析】选A.作CFAD交AD于点F,如图所示:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADC=ABC=60,CD=AB=4,OA=OC,所以DCF=30,所以DF=CD=2,所以CF=DF=2,因为CFAD,OEAD,所以CFOE,因为OA=OC,所以OE是ACF的中位线,所以OE=CF=.9.(2019兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CEBD
7、,DEAC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为()A.2B.4C.4D.8【解析】选A.CEBD,DEAC,四边形OCED为平行四边形,ABCD为矩形,OC=OD,四边形OCED为菱形,OD=DE=2,BD=2OD=4,CD=2,三角形OCD为等边三角形,高为,所以四边形OCED的面积为2.10.(2019淄博临淄模拟)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为()A.1B.2C.2D.4【解析】选C.因为四边形AECF是菱形,AB=3,所以假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,因为四边形AECF是菱形,所以FCO=ECO,
8、因为ECO=ECB,所以ECO=ECB=FCO=30,2BE=CE,所以CE=2x,所以2x=3-x,解得x=1,所以CE=2,利用勾股定理得出:BC2+BE2=EC2,BC=,又因为AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积是AEBC=2.11.如图,已知正五边形ABCDE,AFCD,交DB的延长线于点F,则DFA等于A.30B.36C.45D.32【解析】选B.在正五边形ABCDE中,C=(5-2)180=108,正五边形ABCDE的边BC=CD,CBD=CDB,CDB=(180-108)=36,AFCD,DFA=CDB=36.12.(2019岱岳区模拟)如图,将正方形纸片ABCD沿FH折
9、叠,使点D与AB的中点E重合,则FAE与EBG的面积之比为()A.49B.23C.34D.916【解析】选D.因为四边形ABCD是正方形,所以设AB=BC=CD=AD=16,因为AE=EB=8,EF=FD,所以设EF=DF=x.则AF=16-x,在RtAEF中,因为AE2+AF2=EF2,所以82+(16-x)2=x2,所以x=10,所以AF=16-10=6,因为将正方形纸片ABCD沿FH折叠,使点D与AB的中点E重合,A=B=D=90,所以FEG=90,所以AEF+BEG=AEF+AFE=90,所以AFE=BEG,所以AFEBEG,所以=.13.如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,A
10、C的中点.若四边形ADEF是菱形,则ABC必须满足的条件是()A.ABACB.AB=ACC.AB=BCD.AC=BC【解析】选B.AB=AC,理由是:AB=AC,E为BC的中点,AEBC,D,F分别为AB和AC的中点,DFBC,AEDF,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,AC的中点,EFAD,DEAF,四边形ADEF是平行四边形,AEDF,四边形ADEF是菱形,即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形,选项A,C,D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形.14.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CEBD,DEAC.若BD=6,则四边形CODE的周长是()A.10B.12
11、C.18D.24【解析】选B.CEBD,DEAC,四边形CODE是平行四边形,四边形ABCD是矩形,OC=AC,OD=BD,AC=BD=6,OC=OD=3,四边形CODE是菱形,DE=OC=OD=CE=3,四边形CODE的周长=43=12.15.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE是DAB的平分线,EFAD交AB于点F,若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于()A.4B.8C.6D.9【解析】选C.ABCD,EAF=AED.又AE是DAB的平分线,DAE=EAF,DAE=AED,AD=ED.ABCD,EFADBC,四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形.四边形ADEF是菱形.AD=A
12、F=9-4=5,AO=AE=4,AEDF.DO=3,DF=2DO=23=6.16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为()A.4B.3C.2+D.+1【解析】选C.过点M作MFAC于点F,如图所示.MC平分ACB,四边形ABCD为正方形,CAB=45,FM=BM.在RtAFM中,AFM=90,FAM=45,AM=2,FM=AMsinFAM=.BM=,AB=AM+MB=2+.17.(2019绍兴模拟)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为()A
13、.1B.2C.3D.4【解析】选C.作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,连接EF交BD于点P.由两点之间线段最短可知:当E,P,F在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+FP=EF.因为四边形ABCD为菱形,周长为12,所以AB=BC=CD=DA=3,ABCD,因为AF=2,AE=1,所以DF=DF=AE=1,所以四边形AEFD是平行四边形,所以EF=AD=3.所以EP+FP的最小值为3.18.如图,菱形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF,EF,若四边形ABCD的面积是40cm2,则CEF的面积为()A.5 cm2B.10 cm2C.15 cm2
14、D.20 cm2【解析】选C.如图,连接AC,分别交EF,BD于点M,O.四边形ABCD为菱形,ACBD,AO=CO(设为).点E,F分别是边AB,AD的中点,EF为ABD的中位线,EFBD,EF=BD,AOEF.ABDAEF,=2,OM=OA=0.5,CM=1.5,=,S四边形ABCD=40,SEFC=15(cm2).19.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,BEF=2BAC,FC=2,则AB的长为()A.8B.8C.4D.6【解析】选D.如图,连接OB,由题意易证OFCOEA,OF=OE,OC=OA,B
15、E=BF,OE=OF,BOEF,EBO=FBO,在RtBEO中,BEF+ABO=90,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:OA=OB=OC,BAC=ABO,又BEF=2BAC,即2BAC+BAC=90,解得BAC=30,EBO=FBO=30,FBC=30,FC=2,BC=2,AC=2BC=4,AB=6.20.(2019昆明中考) 如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EFAD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH,下列结论:EG=DF;AEH+ADH=180;EHFDHC;若=,则3SEDH=13SDHC,其中结论正确的有(
16、)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由题意得HF=HG,HFD=HGE,DF=AE=EG,DHFEHG,EG=DF,HEG=HDF,HEA+ADH=180,若AEAB=23可得正确;正确的结论有4个.二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)21.(2019连云港中考)如图,在平行四边形ABCD中,AEBC于点E,AFCD于点F,若EAF=56,则B=_.【解析】因为AEBC,AFCD,所以AEC=AFC=90,在四边形AECF中,C=360-EAF-AEC-AFC=360-56-90-90=124,在ABCD中,B=180-C=180-124=
17、56.答案:5622.(2019临沂兰山模拟)如图,ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则DOE的周长为_.【解析】因为ABCD的周长为36,所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,所以OD=OB=BD=6.又因为点E是CD的中点,所以OE是BCD的中位线,DE=CD,所以OE=BC,所以DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15,即DOE的周长为15.答案:1523.(2019东平县一模)如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,MEAD,NFA
18、B,若NF=NM=2,ME=3,则AN的长度为_.【解题指南】由MAENAF,推出=,列方程即可解决问题.【解析】设AN=x,因为四边形ABCD是菱形,所以MAE=NAF,因为AEM=AFN=90,所以MAENAF,所以=,所以=,所以x=4,所以AN=4.答案:424. 如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),过A,P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE,EC,当CDE为等腰三角形时,AP=_.【解析】连接AE,四边形ABCD,APEF是正方形,A,E,C共线,当CD=CE=时,AE=AC-EC=2-,AP=AE=-1;当ED=EC时,DE
19、C=90,EDC=ECD=45,EC=CD=1,AE=AC-EC=1,AP=AE=;当DE=DC时,不符合题意,当CDE为等腰三角形时,AP=-1或.答案:-1或三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)25.(8分)(2019陕西中考)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF = DE,连接AF,CE.求证:AFCE.【证明】四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.1=2.又BF=DE,BF+BD=DE+BD.DF=BE.ADFCBE.AFD=CEB.AFCE.26.(8分)(2019长春
20、中考)如图,在ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.(1)求证:BDEF.(2)若=,BE=4,求EC的长.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC.DF=BE,四边形BEFD是平行四边形,BDEF.(2)四边形BEFD是平行四边形,DF=BE=4,DFEC,DFGCEG,=,CE=4=6.27.(10分)(2019济南章丘模拟)如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接BE.(1)如图:求证AFD=EBC.(2)如图,若DE=EC且BEAF,求DAB的度数.(3)若DAB=90且
21、当BEF为等腰三角形时,求EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以DC=CB,在DCE和BCE中,所以DCEBCE(SAS),所以EDC=EBC,因为DCAB,所以EDC=AFD,所以AFD=EBC.(2)因为DE=EC,所以EDC=ECD,设EDC=ECD=CBE=x,则CBF=2x,由BEAF得2x+x=90,解得x=30,所以DAB=CBF=60.(3)分两种情况:如图1,当F在AB延长线上时,因为EBF为钝角,所以只能是BE=BF,设BEF=BFE=x,可通过三角形内角和为180得90+x+x+x=180,解得x=30,所以EFB=30;如图
22、2,当F在线段AB上时,因为EFB为钝角,所以只能是FE=FB,设BEF=EBF=x,则有AFD=2x,可证得AFD=FDC=CBE,得x+2x=90,解得x=30,所以EFB=120,综上EFB=30或120.28.(10分)(2019兰州中考)阅读下面材料:在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.结合小敏的思路作答:(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题的方法,解决问题.(2)
23、如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.【解析】(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC.E,F分别是AB,BC的中点,EFAC,EF=AC,G,H分别是CD,AD的中点,GHAC,GH=AC,EFGH,EF=GH,四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,当AC=BD时,FG=BD,EF=AC,FG=EF,四边形EFGH是菱形.当ACBD时,四边形EFGH是矩形.29
24、.(12分)如图1,在正方形ABCD内作EAF=45,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AHEF,垂足为H.(1)如图2,将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG.求证:AGEAFE;若BE=2,DF=3,求AH的长.(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.【解析】(1)由旋转的性质可知:AF=AG,DAF=BAG.四边形ABCD为正方形,BAD=90.又EAF=45,BAE+DAF=45.BAG+BAE=45.GAE=FAE.在GAE和FAE中,GAEFAE.GAEFAE,ABGE,AHEF,AB=AH,GE=EF=5.设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3.在RtEFC中,由勾股定理得:EC2+FC2=EF2,即(x-2)2+(x-3)2=25.解得:x=6.AB=6.AH=6.(2)MN2=ND2+BM2.理由如下:如图所示:将ABM逆时针旋转90得ADM,连接NM.四边形ABCD为正方形,ABD=ADB=45.由旋转的性质可知:ABM=ADM=45,BM=DM.NDM=90.NM2=ND2+DM2.EAM=90,EAF=45,EAF=FAM=45.在AMN和ANM中,AMNANM.MN=NM.MN2=ND2+BM2.
