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1、中考数学重难点专题讲座 一元二次方程与二次函数 【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面
2、的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。第一部分 真题精讲【例1】2010，西城，一模已知：关于的方程求证：取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数的图象关于轴对称求二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；在条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需
3、要讨论M=0和M0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）当，原方程有实数根. 当时，原方程为关于的一元二次方程， . 原方程有两个实数根. （如
4、果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根. （2）关于的二次函数的图象关于轴对称，.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）.抛物线的解析式为. ，（判断大小直接做差）（当且仅当时，等号成立）. （3）由知，当时，.、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）对于的同一个值，的图象必经过. 又经过，. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设.对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，.又根据、的图象可得 ，.（a0时,顶点纵坐
5、标就是函数的最小值）. .而.只有，解得.抛物线的解析式为. 【例2】2010，门头沟，一模关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的
6、形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得 解得 解得 当且时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得 解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0) （3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点的直线（） 把代入，得， 整理得有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若
7、有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点P 、
8、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴，所以，（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0因为，=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ，（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可由=0，得又是正整数，所以得最小值为2【例4】2010，昌平，一模已知抛物线，其中是常数 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里
9、面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.（1）依题意，得， 抛物线的顶点坐标为 （2）抛物线与轴交于整数点，的根是整数是整数，是整数 是整数的完全平方数， (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)取1，4，当时，； 当时， 的值为2或 抛物线的解析式为或【例5】2010，平谷，一模已知：关于的一元二次方程（为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴
10、上的一个固定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式0就可以了，依然不能遗漏的是m-10。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整
11、数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：（1）方程有两个不相等的实数根, ,的取值范围是且. （2）证明：令得. (这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)抛物线与轴的交点坐标为,无论取何值，抛物线总过定点 （3）是整数 只需是整数.是整数，且, 当时，抛物线为把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为 【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用
12、一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。第二部分 发散思考【思考1】. 2010，北京中考已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二
13、次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.【思考2】2009，东城，一模已知：关于的一元二次方程（1）
14、若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.【思考3】2009，海淀，一模已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值；（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 必有两个不相等的实数根.【思路分析】本题有
15、一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.【思考4】2009，顺义,一模. 已知：关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求的值【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,
16、直接用根的判别式写出,发现都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析【思考1解析】解：（1）由题意得，为正整数，（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意AOxy864224B当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为【思考2解析】证明： 方程有
17、两个不相等的实数根。 （2）方程有两个整数根，必须使且m为整数又12m40， 59m=24 【思考3解析】解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.依题意 k-10. . 方程的根为正整数，k为整数, k-1=1或k-1=2. k1= 2, k2=3. （2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0）， 0 =a-b+kc, kc = b-a . = （3）证明：方程的判别式为 =(-b)2-4ac= b2-4ac. 由a0, c0, 得ac0.( i ) 若ac0. 故=b2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. ( ii ) 证法一: 若ac0, 由(2)知a
18、-b+kc =0, 故 b=a+kc.=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). 方程kx=x+2的根为正实数， 方程(k-1) x=2的根为正实数.由 x0, 20, 得 k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc)20, =(a-kc)2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac0, 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, 1=(-b)2-4akc =b2-4akc0.(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-10, b2-4ac b2-4akc0. = b2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根.【思考4解析】（1）- 不论取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）由原方程可得 - 又 - 经检验：符合题意 的值为4
