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1、第9讲 随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点：1随机变量的数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use2随机变量函数的数学期望3数学期望的性质4方差的定义For personal use only in study and research; not for commercial use5方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2学时。For personal use only in study
2、and research; not for commercial use教学过程：第三章 随机变量的数字特征3.1 数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的
3、数学期望和方差。1离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能作为X取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是， 相应的概率为 ，则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值
4、是随机的。但是，如果试验次数很大，出现的频率会接近于，于是试验值的平均值应接近由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X是离散随机变量，它的概率函数是 如果 收敛，定义X的数学期望为也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。解 设试开次数为X，则， 于是2. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为，把区间分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区
5、间内的概率，则有=由于区间的长度非常小，随机变量X在内的全部取值都可近似为，而取值的概率可近似为。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。定义2 设X是连续随机变量，其密度函数为。如果收敛，定义连续随机变量X的数学期望为也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若，即X服从上的均匀分布,则若X服从参数为若X服从3.随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。一种方法是，因
6、为也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来。一旦我们知道了的分布，就可以按照数学期望的定义把计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数的分布，一般是比较复杂的。那么是否可以不先求的分布，而只根据X的分布求得呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设X是一个随机变量，则当X是离散时, X的概率函数为；当X是连续时，X的密度函数为。该公式的重要性在于，当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。4.数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C 。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）。推广到n
7、个随机变量有。（4）设X、Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y)。推广到n个随机变量有 5.数学期望性质的应用例2 求二项分布的数学期望。解 若 ，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。若设 i=1,2，n则，因为 ，所以，则可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。例3 设随机变量X服从柯西分布,概率密度为 求数学期望。解 依数学期望的计算公式有 因为广义积分不收敛，所以数学期望不存在。3.2 方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特
8、征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。1. 方差的定义 定义3 设随机变量X的数学期望存在，若存在，则称 (3.1)为随机变量X的方差，记作，即。方差的算术平方根称为随机变量X的标准差，记作，即由于与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差=0，则随机变量X 以概率1取常数值。由定义1知，方差是随机变量X的函数的数学期望，故当X离散时,
9、X的概率函数为；当X连续时，X的密度函数为。计算方差的一个简单公式： 证 请用此公式计算常见分布的方差。例4 设随机变量X服从几何分布，概率函数为, k=1,2,n其中0p1，求。解 记q =1-p +E(X)2. 方差的性质（1）设C是常数,则D(C)=0。（2）若C是常数,则。（3）若与 独立，则 。证 由数学期望的性质及求方差的公式得 可推广为：若,，相互独立，则（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C =E(X)。请同学们思考当与不相互独立时， 下面我们用例题说明方差性质的应用。例5 二项分布的方差。解 设, 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。若设 i=1,2，n则是
10、n次试验中“成功”的次数，故 ， 由于相互独立，于是= np(1- p)。例6 设随机变量X的数学期望与方差都存在，,则标准化的随机变量 证明 ,。 证 由数学期望和方差的性质知 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文
