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1、1.在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫分段函数 .2.分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ，其值域是各段值域的并集 学点一 分段函数图象 已知函数（1）画出函数的图象；（2）求f(1),f(-3),ff(-3),fff(-3)的值.【分析】给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式.（1）函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的图象作图.（2）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值.方法思想分类讨论思想在分段函数中的应用(2014高考浙江卷)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_解析若a0，则
2、f(a)a20，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解答案若本例中的“f(f(a)2”变为“f(f(a)2”，其他条件不变，求实数a的取值范围解：由题意得或解得f(a)2.由或解得a.名师点评(1)解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略因f(x)为分段函数，由于f(a)和a正负不确定，应分情况讨论(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求(3)(2015榆林模拟)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_(3)由题意知或解得4x0或0x2，
3、故x的取值范围是4，25设函数f(x)，则不等式f(x)f(1)的解集是()A(3，1)(3，)B(3，1)(2，)C(3，)D(，3)(1，3)解析：选A.f(1)3，f(x)3，当x0时，x24x60时，x63，解得x(3，)，故不等式的解集为(3，1)(3，)，故选A.7若函数f(x)在闭区间1，2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_解析：由题图可知，当1x0时，f(x)x1；当0x2时，f(x)x，所以f(x).答案：f(x)3定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2.设函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2，则函数f(x)的值域为_解析：由题意知f(x)当x2，1时，
4、f(x)4，1；当x(1，2时，f(x)(1，6故当x2，2时，f(x)4，6答案：4，6学点三 分段函数的解析式如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线MNAD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此题应对N分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数的解析式.如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,ABP的面积为y.(1) 求y与x
5、之间的函数关系式;(2)画出y=f(x)的图象.1.怎样正确地理解分段函数？对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数，不能认为它是几个函数，它只是一个函数的表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用“”表示出各段解析式关系.2.如何加强对分段函数的认识？首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手多认识、多识记.教材中通过例题的形式给出了“分段函数”的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时，既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等.映射函数映射两集合A、
6、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数(2015长春模拟)下列对应关系：A1，4，9，B3，2，1，1，2，3，
7、f：xx的平方根；AR，BR，f：xx的倒数；AR，BR，f：xx22；A1，0，1，B1，0，1，f：A中的数平方其中是A到B的映射的是()A BC D答案：C1已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab等于()A1 B2C3 D4解析：选D.由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的两根，故ab4.例5：已知：集合，映射满足，那么映射的个数是多少？思路提示：满足，则只可能，即、中可以全部为，或各取一个解：，且有当时，只有一个映射；当中恰有一个为，而另两个分别为，时，有个映射因此所求的映射的个数为评注：本题
8、考查了映射的概念和分类讨论的思想例9集合，那么可建立从到的映射个数是_，从到的映射个数是_答案： 提示：从到可分两步进行：第一步中的元素可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步中的元素也有这3种对应方法则不同的映射种数反之从到，道理相同，有种不同映射例10如果函数对任意都有，试求的值解：对任意，总有，当时应有，即又，故有（，则函数相等问题2下面各组函数中为相同函数的是()Af(x)，g(x)x1Bf(x)，g(x)Cf(x)ln ex与g(x)eln xDf(x)x0与g(x)解析：选D.函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)|x1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选
9、项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.1.有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_解析：对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，若x1是yf(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义
10、域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于，由于f0，ff(0)1.综上可知，正确的判断是，.答案：以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y；f2：y1.(2)f1：yxx11x2x2y123f2：(3)f1：y2x；f2：如图所示解(1)不同函数f1(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R.(2)同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)规律方法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的
11、自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数函数单调性问题 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x
12、1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)()(6)函数y的最大值为1.()1(2014北京)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案A解析A项，函数y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C项，函数y2x()x在R上为减函数，故错误；D项，函数ylog0.
13、5(x1)在(1，)上为减函数，故错误4已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_答案(，12，)解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).题型一函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性(2)求函数y的单调区间解(1)设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减
14、函数(2)令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)思维升华(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性方法：利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；还可以利用图象灵活解决部分客观题目(2) 复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数(1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单
15、调性解(1)设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是减函数，在，)上为增函数题型二利用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa BaCa0成立，那么a的取值范围是_答案(1)D(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称
16、轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a0，故0a1.(2)因为f(x)是R上的增函数，所以可得解得4a1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数
17、不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，11分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2)14分解函数不等式问题的一般步骤
18、：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断2判断单调性的常用方法：定义法、图象法失误与防范1区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间
19、上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数如函数f(x).A组专项基础训练(时间：40分钟)1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2) ByCy()x Dyx答案A解析函数yln(x2)在(2，)上为增函数，在(0，)上也是增函数2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A(0，) B(0，C0，) D0，答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由得0f(1)的实数x的取值范围是()A
20、(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)答案D解析依题意得0，所以x的取值范围是x1或xf(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)8设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.9已知函数f(x)(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0
21、，)上是增函数(2)解f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上单调递增，f()，f(2)2.易得a.B组专项能力提升(时间：25分钟)11已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2答案D解析由题意得解得00恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)(1)，1x10,2x1x22，00，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.
