高二数学-导数习题课.doc

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1、高二数学 导数习题课教学目的:使学生能灵活应用导数知识解题.教学过程:一知识要点:1、平均变化率 一般的,函数 在区间上 的平均变化率为 2、曲线上一点处的切线斜率曲线上一点处的切线斜率的定义不妨设P(x1,f(x1),Q(x0,f(x0),则割线PQ的斜率为,设x1x0=x,则x1 =xx0,当点P沿着曲线向点Q无限靠近时,割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率,即当x无限趋近于0时,无限趋近点Q处切线斜率。曲线上任一点(x0,f(x0)切线斜率的求法:,当x无限趋近于0时,k值即为(x0,f(x0)处切线的斜率。3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度:物理学中,运动物体的位移与所用时间的

2、比称为平均速度即位移函数在上的平均变化率(2) 瞬时速度:当无限趋近于0 时,无限趋近于一个常数,这个常数称为t=t0时的瞬时速度平均加速度:(即速度函数在上的平均变化率)瞬时加速度:当无限趋近于0 时,无限趋近于一个常数,这个常数称为t=t0时的瞬时加速度4、导数的定义:一般地,定义在区间(,)上的函数,当无限趋近于0时,无限趋近于一个固定的常数A,则称在处可导,并称A为在处的导数,记作或,5、导数的几何意义及物理意义:在处的导数就是在处的切线斜率即。在处的导数就是物体在处的瞬时速度即。 在处的导数就是物体在处的瞬时加速度即。6、常见函数的导数公式:; (k,b为常数) ; ; 7、导数的四

3、运算法则法则1法则2 , 法则3 8、复合函数求导法则, 其中是y对x求导,是y对求导,是对x求导.9、函数的单调性定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0f(x)为增函数(x)。函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点不可导函数未必

4、没有极值勤.(例如:)11、利用导数求函数的最值步骤:设函数在上连续,在内可导,则求在上的最大值与最小值的步骤如下:求在内的极值;将的各极值与、比较得出函数在上的最值。说明:若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(a)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值。二、例题分析:1、设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )(江西卷)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)0,则必有( C )A f(0)f(2)2f(1)解:依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,)上

5、是增函数;当x0).()令F(x)xf(x),讨论F(x)在(0.)内的单调性并求极值;()求证:当x1时,恒有xln2x2a ln x1.本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力本小题满分14分()解:根据求导法则有,故,于是,列表如下:20极小值故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值()证明:由知,的极小值于是由上表知,对一切,恒有从而当时,恒有,故在内单调增加所以当时,即故当时,恒有江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问

6、当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。解:设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)于是底面正六边形的面积为(单位:m2)帐篷的体积为(单位:m3)求导数,得令解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.当1x2时,,V(x)为增函数;当2x4时,,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时,帐篷的体积最大。已知,函数()当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;()求函数y=f(x)在区间1,2上的最小值.(2004福建文科)已知f(x)=在

7、区间1,1上是增函数.()求实数a的值组成的集合A;()设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:()f(x)=4+2 f(x)在1,1上是增函数,f(x)0对x1,1恒成立,即x2ax20对x1,1恒成立. 设(x)=x2ax2,方法一: (1)=1a20, 1a1, (1)=1+a20.对x1,1,只有当a=1时,f(-1)=0以及当a=1时,f(1)=0A=a|1a1.方法二: 0, 0, 或 (1)=1+a20 (1)=1a20 0a1 或

8、1a0x1,x2是方程x2ax2=0的两非零实根, x1+x2=a, 从而|x1x2|=.x1x2=2,1a1,|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立,当且仅当m2+tm+13对任意t1,1恒成立,即m2+tm20对任意t1,1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22),方法一: g(1)=m2m20, g(1)=m2+m20,m2或m2.所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立,其取值范围是m|m2,或m2.方法二:当m=0时,显然不成立;当m0时, m0, m0)在x = 1处取得极值-3-c,其中

9、a,b,c为常数。(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x0,不等式恒成立,求c的取值范围。解:(I)由题意知,因此,从而又对求导得由题意,因此,解得(II)由(I)知(),令,解得当时,此时为减函数;当时,此时为增函数因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为(III)由(II)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值,要使()恒成立,只需即,从而,解得或所以的取值范围为用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?(20)(本小题12分)解:设长方体的宽为x(m),

10、则长为2x(m),高为.故长方体的体积为从而令V(x)0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0x1时,V(x)0;当1x时,V(x)0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。从而最大体积VV(x)912-613(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。1(安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为 A BC D解:与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A2(江西卷)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(

11、x1)0,则必有( C )B f(0)f(2)2f(1)解:依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,)上是增函数;当x0时,若,则,所以在区间上是增函数;若,则,所以在区间上是减函数;若,则,所以在区间上是增函数;(i i)当a0时,若,则,所以在区间上是减函数;若,则,所以在区间上是减函数;若,则,所以在区间上是增函数;若,则,所以在区间上是减函数.()由()的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.因为线段AB与x轴有公共点,所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1,0)3,4.(江西卷)已知函数f(x)x3a

12、x2bxc在x与x1时都取得极值(1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2) 若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。解:(1)f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb由f(),f(1)32ab0得a,b2f(x)3x2x2(3x2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(,)与(1,),递减区间是(,1)(2)f(x)x3x22xc,x1,2,当x时,f(x)c为极大值,而f(2)2c,则f(2)2c为最大值。要使f(x)f(2)2c,解得c2(全国II)设函数f(x)(x1

13、)ln(x1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围解法一:令g(x)(x1)ln(x1)ax,对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 5分(i)当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,)上是增函数,又g(0)0,所以对x0,都有g(x)g(0),即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax 9分(ii)当a1时,对于0xea11,g(x)0,所以g(x)在(0,ea11)是减函数,又g(0)0,所以对0xea11,都有g(x)g(0),即当a1时,不是对所有的x0,都有f(x)ax成立综上,a的取值范围是(,1 12分解法二

14、:令g(x)(x1)ln(x1)ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 6分当x ea11时,g(x)0,g(x)为增函数,当1xea11,g(x)0,g(x)为减函数, 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1,即a的取值范围是(,1 (重庆卷)设函数的图像与直线相切于点。()求的值;()讨论函数的单调性。解:()求导得。由于 的图像与直线相切于点,所以,即: 1-3a+3b = -11 解得: 3-6a+3b=-12()由得:令f(x)0,解得 x-1或x3;又令f(x) 0,解得 -1x3.故当x(, -1)时,f(x)是增函数,当 x(3,)时,f(x)也是增函数,但当x(-1 ,3)时,f(x)是减函数.

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