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1、2.1 考察本章所列出的几种典型（一维Logistic Map、二维Henon Map、Lorenz系统、Rossler系统）非线性动力学系统通向混沌途经。要求：(1). 进行数值求解，考察求解变量非线性时间序列曲线，并绘制出2D及3D解集，总结吸引子特征；(2). 考察初值敏感性，即改变初值后的解轨线敏感变化情况；(3). 考察2D往返图，考察混沌系统吸引子形态。2.1.1 Logistic MapLogistic的方程表达式为： 现在x的变化范围是0,1, 参量r通常在0到4取值。取x的初值为0.5，r=3时进行方程的迭代。迭代结果以及对应的递归图如图1所示。X序列图横坐标是迭代次数，纵坐
2、标是n所对应的x值。对应的Recurrence Plot横坐标是，纵坐标是 图1 r取3 , 3.2 , 3.45 , 3.8时对应的序列从图1中可以看出随着参数r的变化，x值的吸引子由一个变为两个，两个变为四个。不断的变化。那么是否logisticm Map就是随着r的变化逐渐进入一种无序的随机状态呢？再来看看不同的r值对应x吸引子的变化情况。图2 Logstic混沌模型倍周期分叉图图2是利用matlab绘制的Logistic map图。横坐标是参变量r，纵坐标是对应的吸引子。从图2可以看出系统是周期分叉进入混沌系统。当r值大于3.7左右后系统进入混沌状态。在混沌区并非“漆黑一片”，将某些周
3、期窗口局部放大，竟然可见模样相似的倍周期分岔结构，如此继续，可得无穷嵌套的 自相似结构，章法井然，显然是无序中的有序。如图3，图4所示。图3 混沌区中的窗口图4 放大坐标得到的自相似图形初值变化对Logstic系统的影响。如下图所示，r=3时，系统没有进入混沌状态，改变初值，x值收敛到定值。初值的变化对系统最终的状态没有多大的影响。r=3.8时系统进入混沌状态，初值的微小变化都会引起最终结果的巨大变化。r=3.8时，整个系统对初值的变化很敏感。 2.1.2.Lorenz ModelLorenz方程为：当取参数 =10，b=8/3，初值点取为（1 1 1），不断改变r值可以看到混沌吸引子的形成过
4、程如图1所示 图1 改变r值得到的混沌吸引子的形成过程图2 从不同角度得到的混沌吸引子图r=28时，系统进入混沌状态，从不同的角度观察吸引子轨迹可以得到不同的图像如图2所示。图3可以看出，初值的微小变化引起将引起系统的巨大变化如图3所示。图3 改变初值x时间序列的变化2.1.3、Rossler方程Rossler方程表达式为：a=0.2，b=0.2，c取2.5, 3.5 ,4, 4.5时的时间序列以及2D，3D图如图1-3所示。从图中可以看出Rossler方程是周期倍分叉通向混沌的。图1 不同c值对应的Rossler方程的x时间序列图图2不同c值对应的Rossler方程的2D图图3不同c值对应的
5、Rossler方程的3D图由以上所讨论的可以看出，混沌为无固定周期的循环性行为，即非周期的有序性，严格地说是非周期的具有渐进的自相似有序性的现象。混沌具有初值敏感性，自相似性以及无周期的特性。2.2. 对Rossler系统，取a=0.1, b=0.1及c=4、6、8.5、8.7、9、12.8、13、18，要求：(1). 观察解轨线从周期变化到混沌、混沌变化到周期过程；(2). 观察变量x与c的分岔变化规律。(1)a=0.1，b=0.1及c=4、6、8.5、8.7、9、12.8、13、18(2) x与c的分岔变化规律： 2.3. Duffing方程，计算给出F取不同值（依次为0.20、0.27、
6、0.28、0.2867、0.32、0.365、0.40、0.645、0.85）时的曲线及（）相平面上轨线。 如下图所示左图为曲线，右图为（）相平面上轨线3.1. 已知分形函数如下：式中，D为分形维数，b为常数。取b=2及D=1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8和1.9，分别产生不同维数时的分形时间序列。要求：(1). 根据如上产生的分形时间序列，由R/S分析法计算不同维数时的Hurst标度估计值，并与所设定的分形维数进行相关比较，评价R/S分析法提取标度的效果；(2). 在如上式分形时间序列基础上叠加噪声，即产生如下所示的含有噪声的分形时间序列：，式中为原始时间序列标
7、准差，为高斯随机变量(满足均值为0及方差为1的独立分布)，为噪声强度，可分别取=1,3,5,7。在上述条件下，重新考察R/S分析法计算的不同维数的Hurst标度估计值，并讨论之。(1)取b=2及D=1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9，分别产生不同维数时的分形时间序列。 (2)r/s法计算各序列分形维数：下图为无噪声时R/S算法标度H与维数D的关系下图为在不同噪声强度时，R/S算法标度与维数对应关系 用r/s法计算的分形维数与实际维数相差较大；加噪后，信号被噪声淹没，所得的维数已严重失真。实际上，r/s法对周期和高斯噪声仅有有限的抗噪能力，对随机和脉冲噪声不具有抗噪性4.1. 考察如下时间序列的递归图结构：递归图如下所示：
