文都考研数学季高分规划班辅导讲义考研免.doc

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1、高等数学部分第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设为一个数列，为常数，若对任意，总存在，当时，有成立，则称为数列的极限，记或。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（4）左右极限：，分别称为函数在处的左右极限，存在都存在且相等。问题：（1）若对任意的，总存在，当时，有，数列是否以常数为极限？（2）若数列有一个子列以常数为极限，数列是否以常数为极限？（3）若数列

2、的奇子列与偶子列都存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设，且存在，则；的充分必要条件是。（4）当时常见的等价无穷小：1）；2）；3）。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设都是无穷小，且，是否一定有？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定

3、不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：2、极限的存在性定理与重要极限定理1 单调有界的数列必有极限。定理2 夹逼定理（数列及函数）：重要极限：（1）； （2）； （3）。3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若有界，是

4、否一定存在？（2）若，当时，是否一定有？举例说明。（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？（4）若，且，是否一定有？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。问题：（1）设都在处间断，则是否一定在处间断？（2）若函数在一点

5、连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题1、。2、设，则。3、。4、设，则。5、设，则。6、。7、。8、。9、设在点处连续，则。二、解答题1、判别函数的奇偶性，并求其反函数。2、求下列极限：（1）。 （2）。（3）。 （4）。（5）。 （6）。（7）。 （8）。（9）； （10）。（11）； （12）。3、证明数列极限存在，并求其极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设为常数，。且，证明：。6、求极限。7、设，且，证明：存在，使得。第二讲 导数与微分一、导数的基本概念设在的邻域内有定义，若存在，则称函数在点可导，极限称为函数在处的导数，记为。注解：（1）若存在，称此极限

6、为函数在处的右导数，记为，若存在，称此极限为函数在处的左导数，记为，函数在处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）导数的等价定义，。注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。问题：（1）设存在，问是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。（2）设存在，问是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。（3）设存在，是否存在？说明理由。（4）设存在，是否存在？说明理由。（5）设在处可导，问是否在处连续？（6）在处可导，是否有在的邻域内连续？（7）是否存在只有一个可导点的函数？二、求导工具（一）求导基本公式1、（常数函数导数公式）；2、，特殊情形（幂函数导数公式

7、）；3、，特殊情形（指数函数导数公式）；4、，特殊情形（对数函数导数公式）；5、（三角函数导数公式）：1）； 2）； 3）；4）； 5）； 6）；7）； 8）； 9）。6、（反三角函数导数公式）：1）； 2）；3）； 4）。7、补充公式：1）； 2）；3）。（二）求导法则1、四则求导法则（1）；（2），；（3）；（4）。2、复合函数求导法则设皆可导，则可导，且。3、反函数的导数设与互为可导的反函数，且，则。注解：（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系；（2）二阶导数之间没有这种关系。三、可微与微分1、可微的定义2、连续、可导与可微的关系3、一阶微分形式的不变性4、求导类型（1）显函数的导数

8、；（2）参数方程的导数；（3）隐函数的导数；（4）变积分限的函数的导数；（5）分段函数的导数；（6）高阶导数。例题部分1、设存在，（1）求； （2）。2、设在处连续，且，求。3、设对任意的，有，且，证明处处可导。4、设与在坐标原点处相切，求。5、设在处可导，且，求。6、求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）设，求； （4），求；（5）设，求； （6）设，求；（7）设，求。7、（1）设，讨论函数在处的连续性和可导性。（2）设在处可导，求常数。（3）设，其中，且在处可导，求。8、（1）设，求； （2）设，求；（3）设，求； （4）设，求。（5）设，求及。第三讲 一元函数微分学的应用一、 中值定

9、理1、（罗尔定理）设，在内可导，。则存在，使得。2、（拉格朗日定理）设，在内可导。则存在，使得。3、（柯西定理）设设，在内可导，。则存在，使得。4、（泰勒定理）设在的邻域内有直到阶导数。则有，其中称为余项，称为拉格朗日型余项，其中介于与之间；称为皮亚诺型余项。注解：1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。2、柯西中值定理中用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。3、常用的马克劳林公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、设在的邻域内有阶连续导数，则二、函数的单调性与极值1、函数的单调性（1）定义：（2）函数单调性判别法：2、函数的极值（1）函数极值的定义

10、：（2）必要条件（函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。（3）函数极值的判别：1）第一充分条件：2）第二充分条件：三、函数的最值1、设，求在上的最大值和最小值。2、实际问题最优解。3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。注解：闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。四、函数的凹凸性与拐点1、曲线的凹凸及拐点的定义：2、曲线凹凸性的判别方法：五、渐近线1、铅直渐近线：若，称为曲线的一条铅直渐近线；2、水平渐近线：若，称为曲线的一条水平渐近线；3、斜渐近线：设为一条直线（其中），若，称直线为曲线的一条斜渐近线。若，则直线为曲线的一条斜渐近线。六、函数图象的描绘的步骤1、

11、求函数的定义域；2、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点；4、求函数的铅直、水平及斜渐近线；5、描图。七、弧微分、曲率与曲率半径1、弧微分（1）设曲线，则；（2）设曲线，则；（3）设曲线，则。2、曲率及曲率半径（1）曲率：；（2）曲率半径：。例题部分一、选择题1、设在的邻域内连续，且，则在处 （ ）不可导； 可导且； 取极大值； 取极小值。2、函数的零点个数是 （ ）个； 个； 个； 个数与有关。3、设函数满足，且，则 （ ）是的极大值； 是的极小值；是的拐点； 非极值，非拐点。二、解答题

12、1、设，在内可导，且，证明：存在，使得。2、设，在内可导（），且，证明：存在，使得。3、设，在内可导，证明：存在，使得 。4、设。证明：存在，使得。5、设在上连续，在内二阶可导，连接两点的直线与曲线交于点，证明：存在，使得。6、证明下列不等式：（1）设。证明：当时，。（2）证明：。（3）设，证明：。7、（1）研究方程的实根个数。（2）讨论方程根的个数。第四讲 不定积分一、原函数与不定积分1、设为两个函数，若对任意的有，则称为的原函数。注解：（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；（2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，如 ，。（3）若一个函数存在原函数

13、，则一定存在无穷多个原函数，且任意两个原函数之间相差常数。2、不定积分一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为 。注解：（1），；（2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。（4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。二、不定积分的性质1、；2、。三、不定积分基本公式1、；2、，；3、，；4、（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。5、（1）， ；（2）， ；（3）；（4）；（5）；（6）。四、积分法1、换元积分法（1）第一类换元积分法。

14、（2）第二类换元积分法。2、分部积分法。3、特殊函数的积分（1）有理函数的积分：（2）三角有理函数的积分：（3）无理函数的积分：例题部分1、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。2、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。3、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。第五讲 定积分一、 定积分的概念1、定积分的定义：设函数在区间上有界。（1）作，其中；（2）任取，作积分和；（3）令，若存在，则称函数在区间上可积，其极限称为函数在上的定积分，记为，即。注解：（1），反之不对。（2）定积分与区间划分无关。（3）区间上有界的函数不一定可积（举反例

15、）（4）连续函数一定可积，反之不对。（5）若一个函数只有有限个第一类间断点，则一定可积。（6）若函数在区间上可积，则。（7）设函数是可积的，则有 ，。二、定积分的性质设函数和可积，则有1、。2、（其中为常数）。3、。4、。5、设函数在区间上可积且，则。推论1 设在区间上，则。推论2 设函数在区间上可积，则。6、设函数在区间上满足，则有 。7（积分中值定理）设函数在区间上连续，则存在，使得。8（1）设函数在上连续，且，则。（2）设函数在上连续，且不恒为零，则。（3）设在上连续，且不恒等于，则有 。9、（积分第一中值定理）设函数和在上连续，且，则存在，使得。证明：因为在上连续，所以在上一定可取到最

16、大和最小值，分别设为和，则。因为，所以，两边在上积分，得 。情形一：，根据补充性质1得，则对一切的，原等式都成立。情形二：，由，得 ，再由闭区间上连续函数的介值定理，存在，使得 ，于是有。10、（柯西不等式）设和在区间上可积，则 。三、积分学基本理论定理1 设函数在上连续，令，则。定理2（积分基本公式）设函数在上连续，且为的一个原函数，则 。注解：（1）连续函数一定存在原函数，且其原函数具有可导性。（2）变积分限的求导可作如下推广：1）。2）。3）若积分限是含有的函数，而被积表达式中除积分变量外还含有，在求关于的导数时，一般要先处理被积表达式中的。如： 四、积分法1、换元积分法设函数在上连续，

17、令可导，且，则 。2、分部积分法设在上连续可导，则。五、重要公式或结论1、三角函数在特定区间上的积分性质（1）特例：，。（2），特例：，（3）。（4）。2、周期函数的积分性质设是以为周期的周期函数，则有（1），其中为任意实数。（2）。3、对称区间上函数的积分性质设在区间上连续，则（1）。（2）若，则。（3），则。六、广义积分1、积分区间有限被积函数无界的广义积分（1）设在上连续，则。（2）设在上连续，则。（3）设在上连续，则。2、积分区间无限的广义积分（1）设在上连续，则。（2）设在上连续，则。（3）设在上连续，则。七、定积分的应用（一）几何应用1、平面图形的面积（1）设，则。（2）设，则。（

18、3）设，则。（4）设曲线，则绕轴旋转一周所得旋转体表面积为 。2、空间几何体的体积（1）曲线分别绕轴和轴旋转所得旋转体的体积分别为 ， 。（2）设一个几何体位于平面与之间，对任意的，平面所得的截口面积为，则几何体的体积为 。3、平面曲线的长度（1）设曲线，则 。（2）设曲线，则 。（3）设曲线，则 。（二）物理应用1、引力（质点与线段之间或者线段与线段之间）、压力。2、变力沿直线运动所做的功。例题部分一、求下列极限：1、；2、；3、；4、；5、设可微，且，又，求。二、求下列定积分：1、；2、；3、设，求；4、求；5、求；6、（其中为任意常数）。三、证明下列等式：1、（1）；（2）；2、设是以正

19、数为周期的连续函数，证明：；3、；4、设在上可微，且，证明：存在，使得 。5、设在上二阶连续可导，且，证明：存在，使得 。四、证明下列不等式：1、设在区间上连续，证明：。2、设在区间上连续可导，且，证明：。3、设在区间上连续且单调增加，证明：。4、设在区间上连续可导，证明： 。5、对任意的有，证明： 。第六讲 多元函数微分学一、 基本概念1、多元函数的极限设的定义域为，为平面上一点，如果对任意的，存在，当时，有 ，则称为函数当时的极限，记为。2、多元函数的连续设函数在点的邻域内有定义，如果有，则称函数在点处连续。3、偏导数设函数在点的邻域内有定义，称为函数在点处关于的偏增量；为函数在点处关于的

20、偏增量；为函数在点处的全增量。若存在，称函数在点处关于变量可偏导，极限称为函数在点处关于的偏导数，记为，或者。若存在，称函数在点处关于变量可偏导，极限称为函数在点处关于的偏导数，记为，或者。4、可微与全微分设函数在点的邻域内有定义，其中是两个常数，则称函数在点处可微，称为函数在点处的全微分，记为。若函数是可微函数时，其全微分为。5、方向导数设函数在点的邻域内有定义，从引一条射线，设，令。若存在，称此极限为函数在点处沿射线的方向导数，记为。6、梯度设函数为可微函数，则称为函数的梯度，记为。7、高阶导数二阶以二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。注解：1、若在点可微，则，。2、多元函数在一点处的连续、可

21、偏导与可微之间的关系（1）函数在点可微，则函数在点处既连续又可偏导。（2）函数在点有连续的偏导数，则函数在点处可微，反之不对。3、设在点可微，则（其中为射线与轴正向的夹角）。4、设在点可微，则（其中为射线与轴、轴、轴正向的夹角）。5、梯度的方向是函数在一点处方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值。因为（其中为与的夹角），所以当时，此时取最大值。6、若函数的二阶混合偏导数与都连续时，但反之不对。二、偏导数的求法1、显函数求偏导数的方法。2、复合函数求偏导数的方法。（1）设关于有连续的偏导数，关于有连续的偏导数，则。（2）设关于有连续的偏导数，关于有连续的偏导数，则 。3、隐函数求偏导数（

22、1）设，则。（2）设，则。4、隐函数组求偏导数（1）设，则，其中。（2）设，则，其中。三、多元函数微分学的应用1、空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线，对应曲线上的点为，则过点的曲线的切向量为，切线方程为 ，法平面方程为 。（2）设空间曲线，则过点的曲线的切向量为，切线与法平面方程略。2、空间曲面的切平面与法线设曲面，点，则在点处且平面的法向量为，切平面方程为 ，法线方程为 。四、极值问题1、无条件极值：设，求目标函数的极值称为无条件极值，步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）由，求出函数的驻点；（3）利用判别定理判别所求的驻点是否是函数的极值点，如为函数的驻点，令，则1）当时，为函数的极

23、值点。当时为极小点，当时为极大点；2）当时，不是函数的极值点；3）当时，无法确定是否是函数的极值点（有更进一步的讨论）。2、条件极值及Lagrange乘数法例题部分1、设，讨论在处的可偏导性。2、设，讨论在点的连续性和可偏导性。3、设，讨论在处的连续性、可偏导性、可微分性、一阶偏导数的连续性。4、求下列函数的偏导数：（1）设，求；（2）设，且有二阶连续的偏导数，求；（3）设确定两个一元函数，且有一阶连续的偏导数，求。（4）设，且是由确定的的函数，其中具有一阶连续的偏导数，求。5、求函数的极值。6、求椭球的内接长方体的体积。第七讲 重积分一、重积分的概念1、二重积分（1）实际例子（2）定义2、三

24、重积分（1）实际例子（2）定义二、重积分的性质1、二重积分的性质2、三重积分的性质三、重积分的计算方法1、二重积分的计算方法（1）直角坐标法（化二重积分为累次积分）（2）坐标变换法（3）特殊计算法（如奇偶性等）2、三重积分的计算方法（1）直角坐标法（2）柱面坐标变换法（3）球面坐标变换法（4）特殊计算法四、重积分的应用1、几何应用2、物理应用例题部分一、改变下列积分的次序：1、；2、；二、计算下列二重积分：1、，其中由与围成。2、，其中由与围成。3、，其中。4、，其中由围成。5、，其中由围成。第八讲 微分方程一、微分方程的基本概念1、微分方程的定义：2、微分方程的解、特解及通解：3、微分方程的

25、阶数：二、一阶微分方程及其解法1、可分离变量的微分方程（1）定义：（2）解法：2、齐次微分方程（1）定义：（2）解法：3、一阶线性微分方程（1）一阶齐次线性微分方程及解法：（2）一阶非齐线性微分方程及解法：4、贝努利方程（1）定义：（2）解法：5、全微分方程（1）定义：（2）解法：三、高阶微分方程（一）可降阶的高阶微分方程1、；2、；3、。（二）高阶线性微分方程1、高阶线性微分方程的定义：称 （）为阶齐次线性微分方程；称 （）为阶非齐线性微分方程。2、高阶线性微分方程解的基本理论（1）设为（）的一组解，则也为（）的一个解，其中为任意常数；（2）设为（）的一个解，为（）的一个解，则为（）的一个解

26、；（3）设为（）的两个解，则为（）的一个解；（4）设，且分别为与的两个解，则为（）的一个解；（5）设为（）的线性无关解，则（）的通解为，其中为任意常数；（6）设为（）的线性无关解，为（）的一个特解，则（）的通解为，其中为任意常数。注解：设为（）的个线性无关解，则（）的通解为，其中为任意常数，且。3、二阶（及高阶）常系数齐次线性微分方程称 （）待添加的隐藏文字内容1（其中为常数）为二阶常系数齐次线性微分方程，称 为其特征方程。（1）若，特征方程有两个不等实根，则（）的通解为 （其中为任意常数）；（2）若，特征方程有两个相等实根，则（）的通解为 （其中为任意常数）；（3）若，特征方程有两个虚根，则

27、（）的通解为 （其中为任意常数）。4、二阶常系数非齐线性微分方程（1）：（2）：（三）欧拉方程（1）定义：（2）解法：例题部分一、求下列一阶微分方程的通解：1、；2、；3、；4、；5、；二、求下列微分方程的解：1、求方程满足初始条件的特解；2、求微分方程的通解。三、求下列方程的解：1、求微分方程的通解；2、。线性代数部分第一讲 行列式一、基本概念1、逆序设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。2、逆序数设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。3、对换对排列中任意两个数的位置进行对调，称为对该排列的一次对换，对换

28、改变排列的奇偶性。4、行列式由个数组成的下列记号 ，称为阶行列式，规定 。5、余子式与代数余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 以下几种行列式为常用的特殊行列式，其计算非常方便，应用也非常广泛：1、对角行列式形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积。2、上（下）三角行列式称及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式形如 称为阶范得蒙行列式，且。4、广义对角行列式形如 （其中为方阵）称为广义对角行列式，且。5、设

29、分别为和阶矩阵，则，。三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即，其中为任意常数。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的

30、和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用克莱姆法则对方程组 （）及 （）其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1 只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2 有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。基本题型1、用两种方法计算行列式（答案：）2计算行列式：（1）； （2），其中是方程的三个根。3、设是阶矩阵，是阶矩阵，且，求。4、设，求（1）；（2）。5、设为4维列向量,且，求。6、计算，其中。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运

31、算（一）基本概念1、矩阵：2、同型矩阵及矩阵相等：（二）特殊矩阵1、对称矩阵与反对称矩阵：2、转置矩阵：3、可逆矩阵：4、正交矩阵：5、伴随矩阵设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。6、非奇异矩阵设为一个阶矩阵，若，则称矩阵为非奇异矩阵。（三）矩阵的四则运算及性质1、矩阵的四则运算（1）矩阵加减法：（2）矩阵乘法：1）数与矩阵的乘法： 2）矩阵与矩阵的乘法：2、矩阵四则运算的性质（1）交换律：。（2）结合律：1）。 2）。（3）分配律

32、：1）。 2）。3）。 4）。（4）。（四）矩阵转置性质1、。2、（其中为常数）。3、。4、。（五）逆矩阵的性质1、。2、（其中为非零常数）。3、，更进一步。4、。5、设可逆，则。6、设都是可逆矩阵，则。（六）矩阵对应的行列式的性质1、设为同阶方阵，则。 2、。3、。 4、。 5、设矩阵可逆，则。二、逆矩阵的存在性与求法（一）矩阵可逆的充要条件定理：设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。（二）逆矩阵的求法1、伴随矩阵法：若，则。2、初等变换法的思想体系及逆阵求法：。三、初等变换、初等矩阵、矩阵等价（一）矩阵的初等变换1、对调矩阵的两行；2、矩阵的某行乘以非零常数倍；3、矩阵某行的倍数加到另一

33、行。以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换，若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。（二）初等矩阵及性质以下三种矩阵称为初等矩阵1、。性质：1）相当于把矩阵的第行与第行对调，相当于把矩阵的第列与列对调；2）； 3）。2、。性质：1）相当于把矩阵的第行乘以非零常数，相当于把矩阵的第列乘以非零常数；2）；3）。3、。性质：1）相当于把矩阵得第行的倍加到第行，相当于把矩阵的第列的倍加到；2）； 3）。（三）矩阵等价1矩阵等价的定义设是两个同型矩阵，若矩阵经过有限次初等变换化为，称矩与等价。2、矩阵等价的充分必要条件：设是两个同型矩阵，则等价

34、的充分必要条件是。基本题型1、举例说明：（1）； （2）不能推出或。2、设为阶矩阵，且，证明：。3、设为阶矩阵，且。证明：可逆并求。4、设为阶矩阵，且，求。5、设满足，且，求矩阵。6、设，求。7、设，且，求。8、设，且，求。9、设为阶矩阵（），证明：。10、设为四阶正交阵，且，为四阶阵，且，求。11、设为正交矩阵，证明：（1）；（2）若，则12、设，且，求。13、设，则 （ ） 14、设，则等于 （ ） 15、设是阶可逆阵，将的第行与第行对调得到矩阵，（1）证明可逆； （2）求。第三讲 向量一、向量基本概念（一）向量的基本概念1、向量个实数所构成的一个数组称为向量，其中称为维行向量，称为维列向

35、量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。2、向量的运算设向量，则规定（1）向量的加法：；（2）数与向量的乘法：；（3）向量的内积：。3、正交规范向量组设为个维向量组，若满足（1），即两两正交；（2），即每一个向量都是单位向量，则称向量组为一个正交规范的向量组。（二）向量的线性相关性与向量的线性表示的概念1、向量组的线性组合：2、向量的线性表示：3、线性相关：4、线性无关：（三）向量组的秩与矩阵的秩的概念1、向量组的极大线性无关组与向量组的秩：2、向量组的等价：3、矩阵的秩：二、向量的性质（一）向量组的相关性与线性表示的性质1.若线性无关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。2.设线

36、性无关，而，线性相关，则可由线性表出，且表示方法唯一；3.若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4.若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5.若一个向量组线性无关，则其扩充分量后的向量组也线性无关；6.设为个维向量，则线性无关；7.若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关；8.若为一个两两正交的非零向量组，则线性无关；（二）向量组的秩的性质1、设为两个向量组，若组可由线性表出，则组的秩不超过组的秩序；2、等价的向量组由相等的秩；3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。三、矩阵的秩的性质1、 。2、；3、；4.、；5

37、、设，且，则；6、设为可逆矩阵，则；7、.8、（1），即若，则。（2）若矩阵的任意两行或两列都成比例，则。（3）若矩阵至少有两行不成比例，则。（4）存在非零向量，使得。（需证明）Winger Tuivasa-Sheck, who scored two tries in the Kiwis 20-18 semi-final win over England, has been passed fit after a lower-leg injury, while Slater has been named at full-back but is still recovering from a kn

38、ee injury aggravated against USA.Both sides boast 100% records heading into the encounter but Australia have not conceded a try since Josh Charnleys effort in their first pool match against England on the opening day.Aussie winger Jarryd Hayne is the competitions top try scorer with nine, closely fo

39、llowed by Tuivasa-Sheck with eight.But it is recently named Rugby League International Federation player of the year Sonny Bill Williams who has attracted the most interest in the tournament so far.The Kiwi - with a tournament high 17 offloads - has the chance of becoming the first player to win the

40、 World Cup in both rugby league and rugby union after triumphing with the All Blacks in 2011.Id give every award back in a heartbeat just to get across the line this weekend, said Williams.The (lack of) air up there Watch mCayman Islands-based Webb, the head of Fifas anti-racism taskforce, is in London for the Football Associations 150th anniversary celebrations