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1、全国2012年10月概率论与数理统计（经管类）真题解析选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件A，B，AB的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P（A）=A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.5【答案】B【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故选择B.快解 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（
2、i）交换律：AB=BA,AB=BA；（ii）结合律：（AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC）， （AB）C=（AC）（BC）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为AB，且P（AB）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设F（x）为随机变量X的分布函数，则有A.F（-）=0，F（+）=0 B.F（-）=1，F（+）=0C.F（-）=0，F（+）=1 D.F（-）=1，F（+）=1【答案】C【
3、解析】根据分布函数的性质，选择C。【提示】分布函数的性质： 0F（x）1； 对任意x1，x2（x1x2），都有Px10. 如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布. 本题x2+y21为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）.4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E（2X1）=A.0 B.1C.3 D.4【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即=2，所以；又根据数学期望的性质有
4、 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X01概率qpA. 两点分布 分布列 数学期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二项分布：XB（n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 数学期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列：，k=0，1，2， 数学期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用连续型随机变量的分布 A.均匀分布：XUa,b 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：E（X）, 方差：D（X）.指数分布：XE（） 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：E（X）, 方差
5、：D（X）.C.正态分布（A）正态分布：XN（,2） 密度函数：，x 分布函数： 数学期望：E（X）, 方差：D（X）2， 标准化代换： 若XN（,2），则YN（0,1）.（B）标准正态分布：XN（0,1） 密度函数：，x 分布函数：，x0, 则P（B|A）=P（B）.12.设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，则P（|）=_.【答案】【解析】，由1题提示有，所以，所以，故填写.【提示】条件概率：事件B（P（B）0）发生的条件下事件A发生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，则P（B）=_.【答案】
6、0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写0.8.【提示】本题给出一个结论：若，则有.X12345，P2a0.10.3a0.314.设随机变量X的分布律 则a=_.【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填写0.1.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，3，（1）pk0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.设随机变量XN（1，22），则P-1X3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=20.
7、8413-1=0.6826【提示】注意：正态分布标准化代换为必考内容.16.设随机变量X服从区间2，上的均匀分布，且概率密度f（x）=则=_.【答案】6【解析】根据均匀分布的定义，-2=4，所以=6，故填写6.17.设二维随机变量（X，Y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1则PX=Y=_.【答案】0.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填写0.4.18.设二维随机变量（X，Y）N（0，0，1，4，0），则X的概率密度fX （x）=_.【答案】，-x0 （1,2,n）； A1A2An=，则对
8、于内的任意事件B，都有；（2）贝叶斯公式：条件同A，则，I=1,2,n。（3）上述事件A1,A2,An构成空间的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。27.已知二维随机变量（X，Y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）.【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有X的边缘分布律为X01P0.60.4Y的边缘分布律为Y101P0.40.50.1（2）由（1）有E（X）=00.6+10.4=0.4，E（Y）=（-1）0.4+00.5+10.1
9、=-0.3又+1（-1）0.1+100.3+110=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4（-0.3）=0.02。【提示】协方差：A）定义：称E（X-E（X）（Y=E（Y）为随机变量X与Y的协方差。记做Cov（X,Y）.B）协方差的计算 离散型二维随机变量：； 连续性二维随机变量：； 协方差计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）协方差的性质：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中a，b为任意常数；Cov（X1+X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；
10、若X与Y相互独立，Cov（X,Y）0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布N（75，2），已知85分以上的考生数占考生总数的5%，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量X，已知XN（75,2），且其中 ZN0,1。所以。因此，考生成绩在65分至85分之间的概率约为0.9.29.设随机变量X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：（1）X及Y
11、的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）PXY.【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知 XU0,1，YE（1），（1）X的概率密度函数为，Y的概率密度函数为（2）因为X与Y相互独立，所以f（x,y）=f（x）f（y），则,（3）积分区域D如图所示，则有D：【提示】1. 1. 随机变量X，Y相互独立。2.二重积分化二次积分的方法。3.定积分的第一换元法。五、应用题（10分）30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量XN（500，22）（单位：g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值=502g.
12、 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常（=0.05）?（附：u0.025=1.96）【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。【解析】设假设检验的假设H0：=0=500；H1：0=500，已知XN（500,22），所以选择适合本题的统计量u统计量，由检验水平=0.05，本题是双侧检验，所以查表得临界值从而得到拒绝域 根据样本得到统计量的样本观察值因为，所以拒绝H0，即可以认为这台包装机的工作不正常。【提示】假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值检验，原假设为H0：=0，备择假设为下列三种情况之一：H1：，其中i）为双侧检验，ii），iii）为单侧检验。2.选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域w内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。
