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1、一次函数典型例题解析与点评 一次函数是初中数学中应用广泛、内容丰富的课题之一，通过学习一次函数，可有助于构造方程、深入理解函数的变化，使以后的学习、研究更加方便 本专题的基本要求是会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像，并掌握其性质，所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述例题已知直线l1：y3x4与直线l2：yx4相交于点A，其中直线l1与x轴交于点C，现沿着x轴将直线l1在x轴以下的部分向上翻折到x轴的上半部，翻折后与直线l2交于点B (1)求射线lCB（不含端点）对应的函数解析式及定义域
2、； (2)求点B的坐标； (3)求ABC的面积【解答】(1)由y3x4知，C（，0） 【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解，这种情况在“正反比例”中已做强调而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形，或者利用割补法来求解 另外，以下知识点在一些教材需等高中才能讲授，作为本书阅读者可提前了解 已知两直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 (1)若l1l2，则k1k2，或l1、l2两直线同时平行y轴；反之亦然 (2)若l1l2，则k1k21，或l1、l2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在（两直线分别为平行于x轴，y轴）；反之亦然 在本题中，l1、l2为互相垂直例题2已知
3、abc 0，abc0，b0，c0时，y1【解答】【技巧】本题考查的是一次函数的图像，根据图像所经过的象限判断出斜率和截距的情况，即ba0，（c）a0；再结合不等式的性质，推出a、b、c的大小，从而得证反过来根据x的取值范围，再利用函数图像也能求出y的取值范围例题3如图所示，在直角坐标系内，一次函数ykxb(kb0，b0，m是常数)的图像经过点A(1，4)，B(a，b)，其中，过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB (1)若ABD的面积为4，求点B的坐标； (2)求证：DC平行于AB；(3)当ADBC时，求直线AB的函数解析式【解答】(1)将点A代入y得：m
4、4，所以y由ABD的面积为4，点B(a，b)代入函数解析式得方程组：【技巧】注意斜率公式：k；两点间距离公式：d本题首先用待定系数法求出反比例函数关系式，然后通过已知条件的面积以及关于点B的函数关系式找到两个等量关系，再构造方程组从而解出点B的坐标，求证DC与AB的平行，由于在直角坐标系中本题完全可撇除通过平行的判定来证明，这里我们从直线的斜率上判断，原因在题1的技巧贴士中已经给出第(3)问求函数关系式，选择待定系数法，通过ADBC，在直角坐标系中构造直角三角形，通过求边的长度找到等量关系【点评】 几何问题是一次函数中常见的题型，它经常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数
5、解析式等形式出现在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本知识，特别是类似一次函数斜率k0等问题对于翻折旋转问题，还请了解以下内容 正因为如此，题1中l1：y3x4关于x轴对称可直接表达为y3x4，当然也可以取l1上一点（2，2），则该点关于x轴的对称点为(2，2)，求出经点C（，0）与(2，2)的解析式即lBC 这种“取点”方法间接解决了函数yf(x)关于某点对称的函数yg(x)的求法，即取yf(x)上的一些点，这些点的对称点比较容易求出，并且这些点都在yg(x)上，有了这些点，利用“待定系数法”等技巧可以表达出yg(x) 对于面积问题，通过题1、题3、题4的讲解我们知道，在一次函数中
6、，要么用割补法，如题1，要么数形结合，直接用公式，如题4，以BD为底，ABD的高为4b例题5已知f(x)是一次函数(1)若ff(x1)4x7，求函数f(x)的表达式；(2)若f(1)1，且f(2)2，求函数f(x)的表达式【解答】【技巧】首先设一次函数表达式为f(x)kxb(k0)，比较左右两边的系数构造方程组求解，先设出一次函数的表达式，通过两次代换得到一个新的函数，再利用两边对应项系数相等构造出方程组，从而解出k和b的值，如对于f(f(x)，现标记为f1(f2(x)，先计算出f2(x)，再将f2(x)视为一个整体代入f1(x)例题在直角坐标系xOy，x轴上的动点M(x，0)到定点P(5，5
7、)，Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么当MPMQ取最小值时，求点M的横坐标【解答】如图所示，作点Q关于x轴的对称点Q（2，1） 设直线PQ的解析式为ykxb，将点P(5，5)，Q（2，1）代入解析式得 ，解得k2，b5，则直线PQ的解析式为y2x5 令y0，则x2.5即为所求 下面证明点M(2.5，0)使MPMQ取最小值 在x轴上任取点M，连接MP、MQ、PQ因为点Q关于x轴的对称点为Q，所以x轴为线段QQ的垂直平分线 由此可得MQMQ，因为MPMQPQ，两点间距离线段最短，所以MPMQ的最小值即MPMQ的最小值为PQ 则PQ与x轴的交点即为所求点M【技巧】本题关键在于将问题转换为求两定
8、点距离之和的最小值，即利用“两点之间线段最短”，由于点P、点Q分布在x轴的同侧，所以利用对称的知识首先将其中一点Q找到它的对称点Q，因为M点在x轴上，那么我们可以理解其为直线PQ与x轴的交点 还请注意，找到了M点，还需证明M使MPMQ取最小值，因此本题分两步：首先找出M，接着证明M即为所求例题设f(x)mx（1x），其中m0，记f(x)在0x1的最小值为g(m)，求g(m)及其最大值，并作yg(m)的图像【解答】 所以g(m)在00，所以y随x的增大而增大，所以当x44时，ymax3820，即生产M型号的时装44套时，该厂利润最大，最大利润是3820元【技巧】(1)求解自变量的取值范围的时候，
9、我们要运用到题设中所给的条件“两种型号的时装共用A种布料70米，B种布料52米”，确定出两个不等关系，找出相应的范围，注意不等式是可以取得等号的(2)通过5种方案分别计算求出利润并比较找出最大值，我们发现利润y与x的函数关系为y5x3600(x40，41，42，43，44)，y随x的增大而增大，因此x取最大值的时候可以得到ymax3820【点评】 以上5题主要涉及函数的迭代问题、最值问题和实际应用问题 迭代问题，就是将里面的函数看成一个整体代入外面的函数中，从内到外，逐层推算这就要考同学们对函数定义的理解了，将外面函数中的x用里面函数的函数值代替再运算就可以了再次强调对于f(f(x)的计算，现
10、标记为f1(f2(x)，先计算出f2(x)，再将f2(x)视为一个整体代入f1(x)，同理，f1(f2(f3(x)也是如此，从内到外，先算f3，再将f3作为整体代入计算f2，最后将f2作为整体代人f1 最值问题分为两个方面，一个是两点间线段最短另一个是分段函数，需要进行分类讨论，分析函数增减性，画出函数图像，得到在定义域中函数值取到的最大值或最小值 题6的做法在专题6中还会出现，至于题7的最值则要在确定g(m)的基础上才能确定对于题6，请千万牢记，本题要有两个步骤：首先找出M，接着证明M即为所求，第一个步骤是确定存在性，到底有没有满足条件的M点，第二步则是证明唯一性 而实际应用问题，如题8和题
11、9，这两题是一次函数与不等式相结合的应用问题首先根据题目中的条件确定出不等关系，找出相应的自变量的范围，确定出几种方案，再对各种方案求出因变量进行比较，得出最佳方案例题10 如图所示，在平面直角坐标系中，已知OA12cm，OB6cm点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动如果点P、点Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0t6)，则： (1)设POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当POQ的面积最大时，将POQ沿直线PQ翻折后得到PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由【解答】(1)由题意得，BQtOP，CQ6t
12、，所以yt23t(0t6) (2)已知坐标A(12，0)，B(0，6)，所以直线AB为yx6 由(1)得，当y取最大值时，t3，所以CQ3，OP3，即POQ是等腰直角三角形 将POQ沿直线PQ翻折，可得到边长为3的正方形OPCQ，得点C坐标(3，3)，代入yx6不成立，即点C没有落在直线AB上，【技巧】本题是一个动点问题(1)要求y关于t的函数解析式，只要求出OQ、OP的长度（包含未知数t）即可；(2)先求出当POQ的面积最大时t的值，从而求得OQ3和OP3，然后不难求出C点的坐标是(3，3)，代入一次函数yx6即可例题11已知函数f(x)(m2)x2m3(1)求证：无论m取何实数，这些函数的
13、图像恒过某一定点(2)当x在1，2内变化时，y在4，5内变化，求实数m的值【解答】(1)令yf(x)(m2)x2m3，则有(x2)m2x3y0【技巧】本题是一个定点问题(1)由“无论m取何实数时，这些函数的图像恒过某一定点”可知，这个定点与m的取值无关所以只需变换一次函数解析式，把含有m的项合并，转换成amb，其中a0，b0即可(2)对f(x)(m2)x2m3，还需讨论m2的取值范围，确定一次函数是增函数还是减函数后，方可利用题设所给出的x、y范围的端点值代入一次函数的解析式，最终求得m【点评】 动点问题与定点问题是一次函数实际运用中最多也是最实用的两类问题， 动点问题就是指题设图形中存在一个
14、或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题其中数形结合是解决动点问题最主要的方法，在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 例如题10，其特点是有两个动点P、Q，而且它们分别在两条不同的射线上运动，解答问题的关键是认为点P、Q是“静止”的，不要被“运动”二字所迷惑，只要将POQ的面积表达出来即可要求面积最大，可利用配方法，即，确定了点P、Q的坐标后进一步求出点C的坐标 对于题10，再做以下几点说明，这些规律对于解题很有帮助，所以请牢记！ (1)求最值问题，可能会涉及
15、一元二次方程中的“配方法”（专题2中已作说明）以及函数的性质问题（如题7的分段函数） (2)在最值的情况下，题中所形成的图形往往是“特殊”的（如题11中等腰直角三角形POQ，专题3题8技巧贴士中所提及的正方形） (3)本题也属于翻折情况将本问题引申：若三角形POQ是任意三角形（不一定是直角三角形），那经翻折后，C点何时在直线AB上呢？翻折的详细情况可见专题7中的“思维点评” 至于“定点问题”，这是在运动变化中寻找不变量的另外一个类型，这类问题常常会用到特殊与一般的数学思想，定点问题是数学思想与数学知识紧密结合的一类综合性试题，是中考考查能力的热点题型之一，定点问题一般分为两类：一类是直线过定点问题如题11的第一个问题，具体解法技巧贴士中已给出；另一类是函数图像过定点问题，这类问题目前所学知识还未涉及，将在9年级“二次函数”专题中涉及
