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1、 三角形的证明培优习题解析1、 如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= ，求AD的长（1）证：ADBC,BAD=45，ADB是等腰直角三角形，ABD=BAD AD=BD；ABBC，BEAC，ACD+DAC=90，ACD+CBE=90,DAC=CBE,又ADC=BDF=90,ADCBDF(ASA),AC=BF,ABBC，BEAC，AE=EC，即AC=2AE，BF=AC=2AE。（2）ABFCBFDF=CD=在RtCDF中，CF=2BEAC，AE=EC,AF=FC,AD=AF+DF=2+ 。 2
2、、如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（）若设AP=x，则PC=_，QC=_ ；（用含x的代数式表示）（）当BQD=30时，求AP的长； （）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由2解: (1)(6分)解法一：过P作PEQC 则是等边三角形，P、Q同时出发、速度相同，即BQ=APBQ=PF,BD=DF=30,BD=DF=FA=AB=2,AP=2.解法二： P、Q同时同速出发，
3、AQ=BQ设AP=BQ=，则PC=6-，QC=6+在RtQCP中，CQP=30,C=60 CQP=90QC=2PC,即6+=2（6-）=2AP=2（2）由（1）知BD=DF而APF是等边三角形，PEAF,AE=EF又DE+(BD+AE)=AB=6,DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6DE=3为定值，即DE的长不变3（3分）（2013临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是3解答：解：四边形ABCD是菱形，BC=CD，B=D=60，AEBC，AFCDABAE=CDAF，BAE=DAF=30，AE=AF，B=60，BAD
4、=120，EAF=1203030=60，AEF是等边三角形，AE=EF，AEF=60，AB=4，AE=2，EF=AE=2，过A作AMEF，AM=AEcos60=3，AEF的面积是：EFAM=23=3故答案为：34（3分）（2013威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D已知A=EDF=90，AB=ACE=30，BCE=40，则CDF=25解答：解：AB=AC，A=90，ACB=B=45，EDF=90，E=30，F=90E=60，ACE=CDF+F，BCE=40，CDF=ACEF=BCE+ACBF=45+4060=25故答案为：255（11分）（2013威海）【操作发现】：将一
5、副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合【问题解决】：将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长 解答：（1）由图知BC=DE，BDC=BCD，DEF=30，BDC=BCD=75，ACB=45，DOC=30+45=75，DOC=BDC，CDO是等腰三角形；（2）作AGBC，垂足为点G，DHBF，垂足为点H，在RtDHF中，F=60，DF=8，DH=4，HF=4，在RtBDF中，F=60，DF=8，DB=8，BF=16
6、，BC=BD=8，AGBC，ABC=45，BG=AG=4，AG=DH，AGDH，四边形AGHD为矩形，AD=GH=BFBGHF=1644=1246.（本题满分10分）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.求证：BADAEC；若B=30，ADC=45，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.解析：（1）证明：AB=AC,B=ACB.又 四边形ABDE是平行四边形AEBD， AE=BD，ACB=CAE=B，DBAAEC(SAS) 4分（2）过A作AGBC,垂足为G.设AG=x，在RtAGD中，ADC=450，AG=DG=x，在RtAGB中，B
7、=300，BG=，6分又BD=10.BG-DG=BD,即，解得AG=x=.8分S平行四边形ABDE=BDAG=10（）=.10分7（4分）（2013淄博）如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则DE的长为（）解答：BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），PQ是ADE的中位线，BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16，DE=BE+CDBC=6，8（2013聊城）如图，在等边ABC中，AB=6，D是BC的中点，将ABD绕点
8、A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为 解：如图，在等边ABC中，B=60，AB=6，D是BC的中点，ADBD，BAD=CAD=30，BD=AB=3AD= =3根据旋转的性质知，EAC=DAB=30，AD=AE，DAE=EAC+BAD=60，ADE的等边三角形，DE=AD=3，即线段DE的长度为39. (2013内江）已知，如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90，D为AB边上一点求证：BD=AE证明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACD=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），
9、BD=AE10.（2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90，BOAC，于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点E，求证：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）（1）证明：PB=PD，2=PBD，AB=BC
10、，ABC=90，C=45，BOAC，1=45，1=C=45，3=PBO1，4=2C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90，在BPO和PDE中BPOPDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：3=4，BP平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP和CPD中ABPCPD（AAS），AP=CD（3）解：CD与AP的数量关系是CD=AP理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由（2）知BO=PE，PE=2x，CE=2xx=x，E=90，ECD=ACB=45，DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，CD与AP的数量关系是CD=AP11（
11、2013菏泽）如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC求证：ABECBD；若CAE=30，求BDC的度数证明：ABC=90，D为AB延长线上一点，ABE=CBD=90，在ABE和CBD中，ABECBD（SAS）；解：AB=CB，ABC=90，CAB=45，CAE=30，BAE=CABCAE=4530=15，ABECBD，BCD=BAE=15，BDC=90BCD=9015=75；12（4分）（2013莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= 解
12、：连接EF，点E、点F是AD、DC的中点，AE=ED，CD=DF=CD=AB=，由折叠的性质可得AE=AE，AE=DE，在RtEAF和RtEDF中，RtEAFRtEDF（HL），AF=DF=，BF=BA+AF=AB+DF=1+=，在RtBCF中，BC=AD=BC=13(7分) (2013北京)在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。解析：【解析】（1）（2）为等边三角形证明连接、线段绕点逆时针旋转得到线段则，又 且为等边三角形.在与中（SSS）在与中（AAS）为等边三角形（3），又为等腰直角三角形而
