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1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式v 基础知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式S()：sin()sin cos cos sin .C()：cos()cos cos sin sin .T()：tan().两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C()同名相乘，符号反；S()异名相乘，符号同；T()分子同，分母反.2二倍角公式S2：sin 22sin cos .C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2.T2：tan 2. 二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3是的二倍角v 常用结论(1)降幂公式：cos2，sin2.(2)升幂公式：1cos 2
2、2cos2，1cos 22sin2.(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan )(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x).典例(1)已知sin ，tan ，则tan()的值为()A B.C. D(2)(2019呼和浩特调研)若sin，且，则sin 2的值为()A BC. D.解析(1)因为sin ，所以cos ，所以tan .所以tan().(2)因为sin()sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2.答案(1)A(2)B解题技法应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符
3、号反”(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用题组训练1已知sin cos ，且，则的值为()A B.C D.解析：选A因为sin cos ，所以sin cos ，所以.2已知sin ，且，则sin的值为_解析：因为sin ，且，所以，所以cos .因为sin 22sin cos ，cos 22cos21.所以sinsin 2coscos 2sin.答案：考点二三角函数公式的逆用与变形用典例(1)(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.(2)计算：tan 25tan 35tan 25tan 35_.
4、解析(1)sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().(2)原式tan(2535)(1tan 25tan 35)tan 25tan 35(1tan 25tan 35)tan 25tan 35.答案(1)(2)解题技法两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)公式的一些常用变形：sin sin cos()cos cos ；cos sin sin()sin cos ；1sin 2；sin 2；cos 2.提醒(1)公式逆用时一定要注意公式成
5、立的条件和角之间的关系(2)tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1， 等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式题组训练1.设acos 50cos 127cos 40cos 37，b(sin 56cos 56)，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCcab Dacb解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 12
6、7cos(50127)cos(77)cos 77sin 13，b(sin 56cos 56)sin 56cos 56sin(5645)sin 11，ccos239sin239cos 78sin 12.因为函数ysin x，x为增函数，所以sin 13sin 12sin 11，所以acb.2.已知cossin ，则sin_.解析：由cossin ，可得cos sin sin ，即sin cos ，sin，即sin.答案：3.化简sin2sin2sin2的结果是_解析：原式sin21sin21cos 2cos sin21.答案：考法(一)三角公式中角的变换典例(2018浙江高考改编)已知角的顶点与
7、原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角满足sin()，则cos 的值为_解析由角的终边过点P，得sin ，cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .答案或解题技法1三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧2()()，()，等考法(二)三角公式中名的变换典例(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，co
8、s().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为， 为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以.所以sin()，所以tan()2.因为tan ，所以 tan 2.所以tan()tan2().解题技法三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦题组训练1已知tan 4，则cos2()A.B.C. D.解析：选C由tan 4，得4，即4，sin cos ，cos2.2(2018济南一
9、模)若sin，A，则sin A的值为()A. B.C.或 D.解析：选BA，A，cos ，sin Asinsincoscossin.3已知sin ，若2，则tan()()A. B.C D解析：选Asin ，cos .又2，sin()2cos()展开并整理，得cos()sin()，tan().A级1sin 45cos 15cos 225sin 165()A1B.C. D解析：选Bsin 45cos 15cos 225sin 165sin 45cos 15(cos 45)sin 15sin(4515)sin 30.2若2sin xcos1，则cos 2x()A BC. D解析：选C因为2sin x
10、cos1，所以3sin x1，所以sin x，所以cos 2x12sin2x.3(2018山西名校联考)若cos，则coscos ()A BC1 D1解析：选Ccoscos cos sin cos cos sin cos1.4tan 18tan 12tan 18tan 12()A. B.C. D.解析：选Dtan 30tan(1812)，tan 18tan 12(1tan 18tan 12)，原式.5若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A B.C D.解析：选C由3cos 2sin，可得3(cos2sin2)(cos sin )，又由，可知cos sin 0，于是3(cos sin
11、 )，所以12sin cos ，故sin 2.6已知sin 2，则cos2()A B.C D.解析：选Dcos2sin 2.7已知sin，则cos的值为_解析：由已知得cos ，sin ，所以coscos sin .答案：8(2019湘东五校联考)已知sin()，sin()，则_.解析：因为sin()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5.答案：59(2017江苏高考)若tan，则tan _.解析：tan tan.答案：10化简：_.解析：1.答案：111已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的
12、值解：(1)tan3.(2)1.12已知，均为锐角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解：(1)，.又tan()0，0.sin().(2)由(1)可得，cos().为锐角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().B级1(2019广东五校联考)若tan4cos(2)，|，则tan 2_.解析：tan4cos(2)，4cos ，又|，sin ，0，cos ，tan ，从而tan 2.答案：2(2018江西新建二中期中)已知A，B均为锐角，cos(AB)，sin，则cos_.解析：因为A，B均为锐角，cos(AB)，sin，所以
13、AB，B0，所以sin 0，cos 0，cos sin 0，cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )0.所以cos 2.法二：由cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )，且为第二象限角，得cos sin 0，因为sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，得2sin cos ，从而(cos sin )212sin cos ，则cos sin ，所以cos 2.3已知锐角，满足sin ，cos ，则等于()A. B.或C. D2k(kZ)解析：选C由sin ，cos ，且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos
14、 cos sin sin ，又00，函数f(x)sin xcos xcos2x的最小正周期为，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于直线x对称B函数f(x)在区间上单调递增C将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)cos 2x的图象D当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为解析：选D因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin，所以T，所以1，所以f(x)sin.对于A，因为f0，所以不正确；对于B，当x时，2x，所以函数f(x)在区间上单调递减，故不正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数yfsinsin 2x
15、，所以不正确；对于D，当x时，2x，所以f(x)，故正确故选D.2已知函数f(x)4sin xcos.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心解：(1)f(x)4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以
16、函数f(x)的对称中心为(kZ)A级1已知sincos，则tan ()A1B1C. D0解析：选Bsincos，cos sin cos sin ，即sin cos ，tan 1.2化简：()A1 B.C. D2解析：选C原式 .3(2018唐山五校联考)已知是第三象限的角，且tan 2，则sin()A B.C D.解析：选C因为是第三象限的角，tan 2，所以所以cos ，sin ，则sinsin coscos sin.4(2019咸宁模拟)已知tan()2，tan 3，则sin 2()A. B.C D解析：选C由题意知tan tan()，所以sin 2.5已知cos，则sin的值为()A.
17、BC D.解析：选Bcos，coscoscos，解得sin2，sin.6若sin()sin cos()cos ，且为第二象限角，则tan()A7 B.C7 D解析：选Bsin()sin cos()cos ，即cos()cos ，cos .又为第二象限角，tan ，tan.7化简：_.解析：4sin .答案：4sin 8(2018洛阳第一次统考)已知sin cos ，则cos 4_.解析：由sin cos ，得sin2cos22sin cos 1sin 2，所以sin 2，从而cos 412sin22122.答案：9若锐角，满足tan tan tan tan ，则_.解析：由已知可得，即tan(
18、).又因为(0，)，所以.答案：10函数ysin xcos的最小正周期是_解析：ysin xcossin xcos xsin2xsin 2xsin，故函数f(x)的最小正周期T.答案：11化简：(1)；(2).解：(1)原式4.(2)法一：原式sincoscos sin cos sin 2.法二：原式cos2cos2tan cos sin sin 2.12已知函数f(x)2sin xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的值域解：(1)因为f(x)2sin xsin 2xsin，所以函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，k
19、Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)当x时，2x，sin，f(x).故f(x)的值域为.B级1(2018大庆中学期末)已知tan ，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，且3，则cos sin ()A. B.C D解析：选Ctan ，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，tan k，tan k23.30，k2，tan 1，3，则cos ，sin ，cos sin .2在ABC中，sin(CA)1，sin B，则sin A_.解析：sin(CA)1，CA90，即C90A，sin B，sin Bsin(AC)sin(902A)cos 2A，即12sin2A，sin A.答案：3已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f2f 2(x)在区间上的值域解：(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,1
