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1、母子型相似类型一：一般三角形中的母子型相似1.（2019淄博）如图，在ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且CAD=B若ADC的面积为a，则ABD的面积为A2aBaC3aDa【答案】C【解析】CAD=B，ACD=BCA，ACDBCA，即，解得，BCA的面积为4a，ABD的面积为：4a-a=3a，故选C2.（2019南京）如图，在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB若AD=2，BD=3，则AC的长_【答案】【解析】BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD=BD=3，B=DCB，AB=AD+BD=5，CD平分ACB，ACD=DCB=B，A=A，ACDABC，AC2
2、=ADAB=25=10，AC=故答案为：3.如图，菱形ABCD中，AFBC于F，AF交BD于E，求证：。4.已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, DEB=ABC求证：（1）DB2=DEDA；（2）DCE=DAC5.在ABC中，P为边AB上一点.(1)如图1,若ACP=B,求证：AC2=APAB;(2)若M为CP的中点，AC=2, 如图2，若PBMACP，AB3，求BP的长； 如图3，若ABC45，ABMP60，直接写出BP的长6.已知等边三角形ABC中，点D,E在AC,AB上，且CD=AE,CE,BD相交于P点.(1)求证：CDPCEA(2)求证：(3)如图2,若AD=2,CD=1,求BP
3、的长.7.在RtACB中，ACB=90,点D为AB上一点.(1)如图1,若CDAB,求证：AC2=ADAB;(2)如图2,若AC=BC,点H为CD上一动点，过H作EFCD交BC于E,交AC于F点，若=,求的值；(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上，且AHD=45,CH=DH,求8.如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FBFC.8.已知中，,点、在边上，满足 =.求证：；类型二：直角三角形中的母子型1 如图，CD 是 RtABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.2.（2019宜宾）如图，已知直角ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4
4、，BC=3，则AD=_【答案】【解析】在RtABC中，AB=5，由射影定理得，AC2=ADAB，AD=，故答案为：3.在矩形ABCD中，DC=，CFBD分别交BD、AD于点E、F，连接BF（1）求证：DECFDC；（2）当F为AD的中点时，求BC的长度5.如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H，求证：QHDH类型三：圆中的母子型1.如图，O外接ABD，点C在直径AB的延长线上，CADBDC（1）求证：CD是O的切线；（2）若CD3，BC2，求O的半径2.如图，AB是O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所
5、在直线于点D、P，使12A（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若CD4，BD2，求线段BP的长3.如图，O与ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DEOA，CE是O的直径（1）求证：AB是O的切线；（2）若BD4，EC6，求AC的长【解答】（1）证明：连接OD、CD，CE是O的直径，EDC90，DEOA，OACD，OA垂直平分CD，ODOC，ODOE，OEDODE，DEOA，ODEAOD，DEOAOC，AODAOC，AC是切线，ACB90，在AOD和AOC中AODAOC（SAS），ADOACB90，OD是半径，AB是O的切线；（2）解：连接OD，CD，BD是O切线，ODB
6、90，BDE+ODE90，CE是O的直径，CDE90，ODC+ODE90，BDEODC，OCOD，OCDODC，BDEOCD，BB，BDEBCD，BD2BEBC，设BEx，BD4，EC6，42x（x+6），解得x2或x8（舍去），BE2，BCBE+EC8，AD、AC是O的切线，ADAC，设ADACy，在RtABC中，AB2AC2+BC2，（4+y）2y2+82，解得y6，AC6，故AC的长为64.如图，PA切O于A，AB为O的直径，M为PA的中点，连BM交O于C， 求证：（1） （2）MPC=MBP。5.如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2BDBA.6.如图，AB是O的直径，AC与O交于点F，弦AD平分BAC，DEAC，垂足为E（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为2，BAC60，求证：DE2=EFEA. 7.如图，AB为O的直径，AC切O于点A，连结BC交O于点D，E是O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：CBED；（2）若C50，AB2，则的长为（结果保留）8.如图，ABC内接于O，BAC的平分线交BC于D，交O于E，求证：。9.如图，AB为O的直径，CDAB于D，弧AC=弧CE，AE交CD于F，求证：。
