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1、知识点 1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：第 1 讲 三角形三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线 段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知 a、b、c 为ABC 的三边，化简：|a+bc|abc|+|ab+2c|= 【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+bc|= a+bc有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|abc|=-（abc）2、注意“-
2、|abc|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-（abc）的形式，再去括号。ab+2c 可看做（ab+c）+c，再判断正负。【随堂练习】1（2018 春郓城县期末）若三角形三条边长分别是 1，a，5（其中 a 为整数）， 则 a 的取值为 2（2018 春洛宁县期末）三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于 30，求三边的长知识点 2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。【典例】1.如图，A、B、C 分别是线段 A1B、B1C、C1A 的中点，若A1 B
3、1C1 的面积是 14，求ABC的面积？【方法总结】本题已知：A、B、C 分别是线段 A1B、B1C、C1A 的中点，所以我们连接 AB1，BC1，CA1，使 A1B、B1C、C1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到A1 B1C1 与ABC 面积的关系。【随堂练习】1（2018门头沟区一模）如图所示，有一条线段是ABC（ABAC）的中线，该线段是（）A线段 GHB线段 ADC线段 AED线段 AF2（2017 秋钦州期末）钝角三角形三边上的中线的交点在此三角形 （填写“内”或“外”或“边上”）知识点 3 三角形的高线1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足
4、间的线段叫做三 角形的高线2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，ABC 中，AB=AC，CGAB 于 G，P 为线段 BC 上的一动点，PKAB 于 K，PMAC 于 M，探究线段 PK、PM 与 CG 之间的数量关系【方法总结】本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接 AP，可分别表示出ABP、ACP 和ABC 的面积，根据面积相等可找到 PK、PM 与 CG 之间的关系【随堂练习】1（2018 春茌平县期末）下列各组图形中，AD 是ABC 的高的图形是（）A B C D知识
5、点 4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。【典例】1.已知ABC，如图，若 D 点是ABC 内任一点，BD、CD 分别在三角形的角平分线上，则D、A 的关系为 【方法总结】角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。此题可记住结论：当 BD、CD 是三角形 ABC 的角平分线时， D = 90 + A【随堂练习】1（2018 春庆云县期末）如图，在ABC 中，ADBC，AE
6、平分BAC，若1=30，2=20，则B= 2（2017 春雁塔区校级期末）AE 是ABC 的角平分线，ADBC 于点 D，若BAC=130，C=30，则DAE 的度数是_ 知识点 5 三角形的内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 180【典例】1.如图，ABC 中，D、E 是 BC 边上的点，BAD=BDA，CAE=CEA，DAE=BAC，求BAC 的度数.【方法总结】题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示 三角形中的角，利用三角形内角和为 180建立等量关系，求得未知数和所要求的角。【随堂练习】1（2018丹东一模）如图，在ABC 中，ACB
7、=90，A=35，D 是 AB 上一 点将ABC 沿 CD 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 E 处，则ADE= 2（2018高邮市二模）如图，直线 PQ 平行于ABC 的边 BC 所在的直线 MN，ACN 的平分线 CE 所在的直线交 PQ 于点 D，若EDQ=50，A=30，则ABC=3（2018 春巴州区期末）如图：在ABC 中，B=30，C=46，AD 为BAC平分线，AF 为 BC 边上的高，则DAF 的度数为 4（2018 春松北区期末）如图，在ABC 中，A=60，D 是 AB 上一点，E是 AC 上一点，BE、CD 相交于 O，且BOD=55，ACD=30，则ABE 的度数
8、是52018 春九江期末）已知ABC 的高 AD 与 AB、AC 的夹角分别是 60和 20，则BAC 的度数是 知识点 6 三角形的外角性质1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角2、三角形外角的性质： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、燕尾形A1D243BC结论： 4 = 1+ 2 + 3【典例】1.已知ABC，若 D 点是ABC 外一点，位置如图所示BD、CD 分别为ABC、ECA的角平分线，则D、A 的关系为 【方法总结】本题要求D 与A 的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：A
9、CE=A+ABC，DCE=D+DBE，由-2，可得 D = A【方法总结】2.如图，求证：A+B+C+D+E+F+G=180本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于 180求解【随堂练习】1（2018宿迁）如图，点 D 在ABC 边 AB 的延长线上，DEBC若A=35，C=24，则D 的度数是（）A24B59C60D692（2018 春洛宁县期末）若一个三角形的三个内角度数之比为 3：2：1，则与 之相邻的三个外角度数之比为（）A3：2：1B1：2：3 C5：4：3 D3：4：53（2018宜昌）如图，在
10、 RtABC 中，ACB=90，A=40，ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E（1）求CBE 的度数；（2）过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数4（2018 春南关区校级期末）如图，在ABC 中，ABC=40，ACB=80，AD 是 BC 边上的高，AE 平分BAC（1）求BAE 的度数；（2）求DAE 的度数综合运用1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案2.如图所示，AD，CE 是ABC 的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求 AD 的长度.3.如图所示，在ABC 中，已知点 D，E，F 分别为 BC，AD，BE 的中点且 SABC=8cm2， 求CEF 的面积4.已知：如图，ABC，求证：A+B+C=1805. 如图，BF 是ABD 的平分线，CE 是ACD 的平分线，BF 与 CE 交于 G，若BDC=140，BGC=110，求A 的度数.6. 如图，在ABC 中，1=100，C=80，2=3，BE 平分ABC,求4 的度数7. 如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线相交于点 O（1）若A=76，求BOC 的度数；（2）若A=，BOC=，请猜想 与 之间的数量关系，并说明理由
