八年级数学四边形讲义完整版(共6讲).doc

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1、八年级数学四边形讲义全面完整版目 录第一讲 平行四边形的性质第二讲 平行四边形的判定第三讲 菱形第四讲 矩形、正方形第五讲 几种特殊平行四边形的关系第六讲 梯形（全六讲）第一讲 平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形用符号“”表示2平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等 (2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。(3) 平行四边形的对角线互相平分3两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2) 两平行线间的距离处处相等 (3)平行线间的平行线段相等4平行四

2、边形的面积：(1) 如图12-1-2， (（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图12-1-2，有公共边BC，则二、【例题精讲】例1（1）已知中，A比B小20，那么C的度数是_（2）在中，周长为28，两邻边之比为34，则各边长为_ _（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为_ （4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是_例2已知：在ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OMON 例3如图，在ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AECF，AE与

3、CF相等吗？说明理由.【练一练】 1. 已知ABCD中，B=70，则A=_，C=_，D=_2在ABCD中： A: B=5:4， 则A=_； A+C=200，则A=_，B=_；3在ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则ABCD的周长等于_4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别_；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则OBC的周长为_； 【探究与拓展】例1、如图，已知ABCD中，若AD=2AB，AB=BF=AE，则EC与FD垂直，试说明其理由。【变式练习】如图，以ABCD的AD、CD边向外边作等边ABE、等边CDF，

4、且AC与EF交于O，则OE与OF是否相等？试说明理由。例2、如图，点E是ABCD的对角线AC上任意一点，则SBEC=SDEC，请说明理由。【变式练习】如图，已知ABCD中，点E、F分别在BC、DC上，且AE=AF，DGAE，BHAF，G、H是垂足，求证：DG=BH。三、【巩固练习】一、选择题：1、在ABCD中，A-B=200，则D的度数是（ ）A. 800 B. 1150 C. 1250 D. 6502、已知ABCD 的周长为40cm，边AB-BC=4cm，则边AD、CD的长为 ( )A.10cm、14cm B.8cm、12cm C.14cm、10cm D.12cm、8cm 3、ABCD的对角

5、线相交于O，OAB的周长为58cm，AD=28cm两条对角线之差为14cm，则两条对角线的长分别为（ ）A、12 cm、9cm B、23cm、37cm C、8cm、22cm D、24cm、38cm4、ABCD 的周长为32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围是（ ） A、6AC10 B、6AC16 C、10AC16 D、4ACBC，BC=6厘米，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒则当x=_时，四边形ABQP是平行四边形。三、【巩固练习】一、选择题：1、一个四边形的边长依次是a、b、c、d、且a2+b2+c2+

6、d2=2ac+2bd，则这个四边形是（ ）A.矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 不是平行四边形2、四边形ABCD中，AB/CD,且AB=CD, 则四边形ABCD是_, 理由是_ _.3、A、B、C、D在同一平面内，从ABCD；AB=CD；BC=AD；BCAD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A3种 B4种 C5种 D6种 二、解答题如图，在在ABCD中，(1) 若E、F分别是AB、CD上的两点，且AE=CF，FEDCBA那么BD和EF互相平分吗？说明理由.(2) 若E、F分别在AB、CD的延长线上，仍然满足 AE=CF，是上面的结论是否还成立？说明理由.

7、FEDCBA第三讲 菱形一、【基础知识精讲】1菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形2菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等（3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角3菱形的判定方法:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形 （3）四条边相等的四边形是菱形4菱形的面积等于两对角线乘积的一半二、【例题精讲】例1. （1）菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是_（2） 菱形的一个内角为1200，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为_（3） 菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一

8、对角线长为_，边长为_（4）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对角相等B对边相等C对角线互相垂直D对角线相等（5）能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A对角线相等且互相平分 B对角线互相垂直且相等C对角线互相平分 D一组对角相等且一条对角线平分这组对角例2ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形。【练一练】 一、选择题1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等 B. 对边相等C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等2. 菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）A.168 cm2 B.336

9、 cm2C.672 cm2D.84 cm23. 菱形的周长为16，两邻角度数的比为12，此菱形的面积为（ ）A.4 B.8C.10D.124. 下列语句中，错误的是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（）ADEPCBFAAC=2OE BBC=2OE CAD=OE DOB=OE6. 如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=

10、（ ）A35 B45 C50 D55二、填空题1. 菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_.2. 菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1,那么菱形的边长为_.【探究拓展】例1、如图，菱形ABCD中，M、N分别为BC，CD上的点，且B=MAN=60，BAM=20，求CMN的度数。例2、如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O，试说明四边形AFCE是菱形。例3、将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接

11、DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形例4、如图，在ABCD中，BC=2AB，将AB两端延长，并截取AE=AB=BF，CE交AD于G，DF交CB于H，能否判断CG与DH的位置关系吗？三、【巩固练习】一、选择题：1、在菱形ABCD中，AEBC于E，若S菱形ABCD=24cm2，且AE=6cm，则菱形ABCD边长为（ ）A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm2、已知菱形周长是40cm，一条对角线的长是12cm，那么这个菱形的面积是 ( )A. 190 cm2 B. 96 cm2 C. 48 cm2 D. 40cm2 3、菱形周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（

12、）A、200和1600 B、600和1200 C、450和1350 D、300和15004、如图，等边三角形AEF与菱形ABCD有一个公共点A且边长相等；AEF的顶点E、F分别在菱形的边BC、CD上，BAD等于（ ） A、800 B、900 C、1000 D、1200二、填空题1、若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，它的一组对边的距离为2.4cm，它的两条对角线的长分别为_2、若菱形的一边与两条对角线夹角的差是200，那么菱形的各角的度数为 。FEDCBA三、解答题1、如图，在ABC中，ACB=900 ,BD是角平分线，CEAB，交BD于点G，DFAB，E、F为垂足，连接FG.

13、试判断四边形DCGF的形状。PPMCADB2、如图，点P是边长为4的菱形ABCD对角线AC 的一个动点，BAD=60，点M是AB边上的中点，求MP+BP的最小值。第四讲 矩形、正方形一、【基础知识精讲】（一）矩形：有一个角为直角的平行四边形叫矩形1矩形的性质: （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个内角是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分2矩形的判定方法:（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形为矩形（3）三个角是直角的四边形是矩形3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（二）正方形:有一组邻边相等的矩形叫正方形（或有一个角是直角的菱形叫正方形）1. 正

14、方形的性质: 由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)对边平行，四条边都相等. (2)四个角都是直角 (3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角2. 正方形的判定方法:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个角是直角的菱形是正方形.二、【例题精讲】例1矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分例2已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线所成锐角的度数为_.例3四边形ABCD中，AC、BD相交于点O

15、，能判定这个四边形是正方形的是( ) A. AO=BO=CO=DO，ACBD B. ABCD，ACBD C. ADBC，A=C D. AO=CO，BO=DO，AB=BC例4矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15，则对角线长为_，短边长为_例5正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_例6如图，已知ABC中，ACB=90，CD平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为E、F求证：四边形CFDE是正方形例7已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AEBD于E，若DAE：BAE=3：1，求EAC的度数【练一练】一、选择题1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所

16、成的四边形是（ ）A. 一般平行四边形B. 菱形 C. 矩形D. 正方形2.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则ADE等于（ ）A.45 B.30 C.60 D.753.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）A.16 B.22 C.26D.22或264.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则ABO的周长是（ ）A.12+12 B.12+6C.12+D.24+6二、填空题1. 延长等腰ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是_，其判别根据是_.2. 矩形ABCD的周长

17、是56 cm，它的两条对角线相交于O，AOB的周长比BOC的周长少4 cm，则AB=_，BC=_.3. 在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是_.【探究拓展】例1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AE平分BAD，AE交BC于E。求BOE的度数。例2、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线

18、上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想例3、如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为E、F，（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？【变式练习】1、如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PFBE于F，PGAD于G。求证：PF+PG=AB。2、如图，若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与BAD的平分线相交于点E，求证：AC=CE。3、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线

19、上的一点，MNDM，且交CBE的平分线于N（1）求证：MD=MN；（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由 4、如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点。求证：AP=AB。三、【课堂同步】一、选择题：ABCDE1、如图，已知正方形ABCD的边长为5cm，E为DC上一点，EBC=300，则BE的长为（ ）A. cm B. 2cm C. 5cm D. 10cmEDCBA2、如图，等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边，则AED等于 ( )A. 100

20、 B. 12.50 C. 150 D. 200EDCBA3、如图，E是正方形ABCD内的一点，且EAB是等边三角形， 则ADE等于（ ）A、700 B、72.50 C、750 D、77.504、用长为30cm的一根绳子，围成一根矩形，其面积最大值为（ ） A、225cm2 B、112.5cm2 C、56.25cm2 D、100cm2二、填空题EDCBA5、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E,，使AE=AB，则EBC= _三、解答题BEC,DCA6、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C,出，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求SBED的面积。第五讲 几种特殊平

21、行四边形的关系一、【基础知识精讲】（一）正方形，矩形，菱形，平行四边形的关系（二）几种特殊平行四边形的性质边角对角线平 行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线相等且互相平分菱形对边平行，四条边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行，四条边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 （三）几种特殊平行四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等； （4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。矩形（1）有三个是直角；（2）

22、是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。菱形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。正方形（1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。二、【典例精讲】例1、(1) 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_.(2) 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则ABO的周长是_cm.(3) 如图，正方形的对角线长是10cm，M是AB边上一点，且MEAC于点E，MFBD于点F，则ME+MF= _ .ADEPBC(4) 如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在

23、正方形内，在对角线上有一点 ，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 DADEPCBF(5) 如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=（ ）A35 B45 C50 D55 例3. 如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F。（1）求证：OE=OF. （2）如下右图，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。三、【巩固练习】一、选择题或填空题EDC

24、BA1、下列说法中正确的是( )A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 四个角都相等的四边形是矩形C. 菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2、如图，正方形纸片ABCD的边BC上有一点E，AE=8cm，若把纸片对折，使点A与点E重合，则纸片折痕的长 .三、解答题1、如图，正方形纸片ABCD的边长为12cm，在BC上有一点P，且BP=5cm，将正方形折叠，使点A与点P重合，折痕为EF，求EBP的周长.PFEDCBA2、如图，正方形ABCD，它的边长AB=2，点P是边A B的中点，连接PD，在BA的延长线PMFEDCBA上一点F，

25、使得PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。 （1）求正方形AMEF的边长AM. (2) 求线段MD的长.第六讲 梯形一、【基础知识精讲】1梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2梯形的元素：(1)梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底 (2)梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰 (3)梯形的高：梯形两底的距离是梯形的高3特殊梯形的定义: (1) 等腰梯形：两腰相等的梯形(2) 直角梯形：一腰垂直于底的梯形4 等腰梯形的性质 从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等； 从边看：等腰梯形两腰相等； 从对角线看：等腰梯形两条对

26、角线相等。5等腰梯形的判定:(1) 两条腰相等的梯形是等腰梯形 (2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形二、【例题精讲】例1四边形的四个内角的度数比依次是2：3：3：4，则这个四边形是（）A等腰梯形 B直角梯形 C平行四边形D不能确定例2若等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有_对；若梯形ABCD为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有 _对例3在梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，CD=10cm，BC=2AD，则梯形的面积为_例5如图，在梯形ABCD中，ABCD，M、N分别为CD和AB的中点，且MNA

27、B.求证：四边形ABCD是等腰梯形.例6.已知：梯形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，则S梯形ABCD是SABE的2倍吗？为什么？【探究拓展】关于梯形的辅助线的常见方法作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形平移对角线，转化为三角形、平行四边形延长两腰，转化为三角形作高，转化为三角形和矩形中位线与腰的中点例1、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=BC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点O。求证：CO=CD。例2、如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E，求DE的长。例3、如图，直角梯形ABCD中，AD/BC，AB AD于A，DE=EC=BC

28、，求证：AEC=3DAE。例4、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ADBC，E、F分别为AD、BC的中点，且EFBC。求证：B=C。【变式练习】1、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积2、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2）。3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。三、【巩固练习】 一、选择题1.下列说法正确的是（ ）A.一组对边平行的四边形是梯形B.有两个角是直角的四边形是直角梯形C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形D

29、.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形2.以线段a=16,b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形（ ）A.只能画出一个 B.能画出2个 C.能画出无数个 D.不能画出3.在梯形ABCD中，ADBC，AB=AC，若D=110，ACD=30，则BAC等于（ ）A.80B.90C.100D.1104.在等腰梯形ABCD中，ADBC，AEBC于E，且AE=AD，BC=3AD，则B等于（ ）A.30B.45C.60D.135二、填空题1. 梯形的上底长为5 cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm，那么梯形的周长为_.2. 在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AD=8，BC=11，则CD=_.3.等腰梯形的腰长为5 cm，上、下底的长分别为6 cm和12 cm，则它的面积为_.4.在梯形ABCD中，ADBC,B=90，C=45，CD=10 cm，BC=2AD，则梯形的面积为_.5.等腰梯形的腰长为5cm，上、下底的长分别为6cm和12cm，则它的面积为_