初中数学各章节重难点及典型例题.doc

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1、初中数学各章节重难点第一章 实数 重点 实数的有关概念及性质，实数的运算 内容提要 一、 重要概念 1数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2非负数：正实数与零的统称。（表为：x0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3倒数： 定义及表示法 性质：A.a1/a（a1）; B.1/a中，a0; C.0a1时1/a1;a1时，1/a1; D.积为1。 4相反数： 定义及表示法 性质：A.a0时，a-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5数轴：定义（“三要素”） 作用：A.直观地比较实数的大小;B.

2、明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6奇数、偶数、质数、合数（正整数自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 7绝对值：定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0,符号“”是“非负数”的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。 二、 实数的运算 1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2 运算定律（五个加法乘法交换律、结合律;乘法对加法的 分配律） 3 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5 5

3、）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 第二章 代数式 重点代数式的有关概念及性质，代数式的运算 内容提要 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：根据除式中有否字母，

4、将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， =x, =x等。 4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：字母相同;相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：从外形上判断;区别： 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根 正数a的正的平方根（ a0与“平方根”的区别）; 算术平方根与绝对值 联系：都是非负数， =a 区别：a中

5、，a为一切实数; 中，a为非负数。 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数 ( 幂，乘方运算) a0时， 0;a0时， 0（n是偶数）， 0（n是奇数） 零指数： =1（a0） 负整指数： =1/ （a0,p是正整数） 二、 运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 基本性质： = （m0） 符号法则： 繁分式：定义;化简方法（两种） 3整式运算法则（去括号、添括号

6、法则） 4幂的运算性质： = ; = ; = ; = ; 技巧： 5乘法法则：单单;单多;多多。 6乘法公式：（正、逆用） （a+b）（a-b）= (ab) = 7除法法则：单单;多单。 8因式分解：定义;方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 9算术根的性质： ; ; (a0,b0); (a0,b0)(正用、逆用) 10根式运算法则：加法法则（合并同类二次根式）;乘、除法法则;分母有理化：A. ;B. ;C. . 11科学记数法： （1a10,n是整数 数与式典型例题一、 数与式1、 已知a-b=1，b+c=2，则2a+2c+1= 。2、 当x 时

7、，。3、 若，则= 。4、 9.30万精确到 位，有效数字有 个。5、 已知A、B、C是数轴上的三点，点B表示1，点C表示-3，AB=2，则AC的长度是 。6、 P点表示2，那么在数轴上到P点的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 。7、 的平方根是 。若（-3)2=a2，则a= 。8、 某人以a千米/小时的速度由甲地到乙地，然后又以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则此人往返一次的平均速度是 。9、 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，若两人合作完成这项工作的80%需要的时间是 。10、 洗衣机每台原价为a元，在第一次降价20%的基础上再降价15%，则洗衣机现价是 元。11、 若表示

8、一个整数，则整数x可取的值的个数是 。12、 如果一个三角形的三条边长分别为1，k，3，化简= 。13、下列语句说法正确的是（ ） A倒数等于本身的数有0 B算术平方根等于本身的数是1和0 C立方根等于本身的数有1和0 D相反数等于本身的数是114、化简可得（ ） A B C D第三章 统计初步 重点 内容提要 一、 重要概念 1.总体：考察对象的全体。 2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。 5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。 6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数

9、） 二、 计算方法 1.样本平均数： ;若 ， ， ,则 (a常数， ， ， 接近较整的常数a);加权平均数： ;平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 2样本方差： ;若 , , ,则 （a接近 、 、 的平均数的较“整”的常数）;若 、 、 较“小”较“整”，则 ;样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 3样本标准差： 统计初步典型例题1、某校三个绿化小组一天植树的棵树如下：10，x，8，已知这组数据只有一个众数且大小等于中位数，那么这

10、组数据的平均数是 。第四章 直线形 重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 内容提要 一、 直线、相交线、平行线 1线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2线段的中点及表示 3直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”） 4两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线） 5角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6互为余角、互为补角及表示方法 7角的平分线及其表示 8垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9对顶角及性质 10平行线及判定与性质（互逆）

11、（二者的区别与联系） 11常用定理：同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;同垂直于一条直线的两条直线平行。 12定义、命题、命题的组成 13公理、定理 14逆命题 二、 三角形 分类：按边分; 按角分 1定义（包括内、外角） 2三角形的边角关系：角与角：内角和及推论;外角和;n边形内角和;n边形外角和。边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。角与边：在同一三角形中， 3三角形的主要线段 讨论：定义线的交点三角形的心性质 高线中线角平分线中垂线中位线 一般三角形特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判

12、定与性质 5全等三角形 一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS） 特殊三角形全等的判定：一般方法专用方法 6三角形的面积 一般计算公式性质：等底等高的三角形面积相等。 7重要辅助线 中点配中点构成中位线;加倍中线;添加辅助平行线 8证明方法 直接证法：综合法、分析法 间接证法反证法：反设归谬结论 证线段相等、角相等常通过证三角形全等 证线段倍分关系：加倍法、折半法 证线段和差关系：延结法、截余法 证面积关系：将面积表示出来 直线形典型例题1、 如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形，请你写出所有可能的直角三角形斜

13、边的长 。 第1题图 第2题图 第4题图2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内。若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30，则满足条件的点C有 个。3、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 。4、如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画 个。5、直角三角形的两边长为3，4，则第三边长为 。6、直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积为 。7、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少30，则这两个

14、角的度数为 。8、在等边三角形ABC外有一点D，满足AD=AC，则BDC的度数为 。9、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是 。10、在比例尺为1：10000的地图上，区域面积为5cm2的地方代表实际面积是 。11、在ABC中，AB=8，AC=6，点D在AB上，AD=2，点E在AC上，且ADE与原三角形相似，则AE= 。12、如图，DEAB，DFAC，若SDEC=4，SBDF=9，则SABC= 。13、RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，在RtABC中作一个内接正方形，则该正方形的边长是 。 第12题 第14题14，将三角形张片（

15、ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 .15、 若P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点P叫做ABC的费马点。（1） 若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4，则PB的值为 。（2） 如图，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB。求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC. 16、 三角形的一边长为3，另两边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为 。17、 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6

16、，PB=8，PC=10.。若将PAC绕点A逆时针旋转60后得到PAB，则点P与点P之间的距离为 。APB= 。三、 四边形 分类表： 1一般性质（角） 内角和：360 顺次连结各边中点得平行四边形。 推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 外角和：360 2特殊四边形 研究它们的一般方法: 平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形 菱形 对角线的纽带作用： 3对称图形 轴对称（定义及性质）;中心对称（定义及性质） 4有关定理：平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形

17、、梯形的中位线定理 平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形） 5重要辅助线：常连结四边形的对角线;梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 6作图：任意等分线段。 四边形典型例题1、A、B、C、D是四边形ABCD各边中点，若ABCD是一般的四边形，则四边形ABCD是 ；若ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是 ；若ABCD是等腰梯形，则四边形ABCD是 。若ABCD是矩形，则则四边形ABCD是 。若ABCD的对角线互相垂直，则则四边形ABCD是 。2、如图，在梯形ABCD中，ABBC，AD=2，BC=4，点M是AD的

18、中点，MBC是等边三角形。动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且MPQ=60，当动点P、Q运动到 时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，且平行四边形有 个。 3、 如果平行四边形四个内角的平分线能围成一个四边形，那么这个四边形是 。4、 P是边长为2的正方形ABCD的边DC上任一点，且PEDB于E，PFCA于F，则PE+PF的长是 。5、下列命题中：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半；在一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆周角相等。其中真命题的个数为（ ） A0个 B1个 C2个

19、D3个6、 如图5所示，正方形ABCD内有两条相交线段MN和EF，点M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，小明认为若MN=EF，则MNEF；小亮认为若MNEF，则MN=EF。你认为谁说得对？ 7、 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90到DE位置，连结AE，则AE的长为 。第五章 方程（组） 重点一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 内容提要 一、 基本概念 1方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2 分类： 二、 解方程的依据等式性质 1a=ba+c=b+

20、c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项 系数化成1解。 2二元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 四、 一元二次方程 1定义及一般形式： 2解法：直接开平方法（注意特征） 配方法（注意步骤推倒求根公式） 公式法： 因式分解法（特征：左边=0） 3根的判别式： 4根与系数顶的关系： 逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 5常用等式： 五、 可化为一元二次方程的方程 1分式方程 定义 基本思想： 基本解法：去分母法换元法（如， ） 验根及方法 2无理方程 定义 基本思想： 基本解法：乘方法（注意技巧！）换元法（

21、例， ）验根及方法 3简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 六、 列方程（组）解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程

22、（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系 1 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt 相遇问题(同时出发)： 追及问题（同时出发）： 若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则水中航行： ; 2 配料问题：溶质=溶液浓度 溶液=溶质+溶剂 3增长率问题： 4工程问题：基本关系：工作量=工作效率工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 三注意语言

23、与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。 四注意从语言叙述中写出相等关系。 如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 方程典型例题1、，则x= 。2、若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，则m的取值范围是 。3、某商场的服装按原价的九折出售，要使销售总收入不变，那么销售量应增

24、加 。4、若关于x的分式方程无解，则a= 。第六章 一元一次不等式（组） 重点一元一次不等式的性质、解法 内容提要 1 定义：ab、ab、ab、ab、ab。 2 一元一次不等式：axb、axb、axb、axb、axb(a0)。 3 一元一次不等式组： 4 不等式的性质：aba+cb+c abacbc(c0) abacbc(cb,bcac ab,cda+cb+d. 5一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 不等式典型例题1、 如果不等式(a-1)xa-1的解集是x0，k0,k0时，开口向上;a0时，在对称轴左侧，右侧;a0时，图象位于

25、，y随x;k0时，图象位于，y随x;两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 四、重要解题方法 1 用待定系数法求解析式（列方程组求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图： 2利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。 1、 函数典型例题1、如图是一个由正方形ABCD和半圆O组成的封闭图形，点O是圆心。点P从点A出发，沿线段AB、弧BC和线段CD匀速运动，到达终点D 。运动过程中OP扫过的面积S随时间t变化的图象大致是 2、 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3x6

26、，相应的函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 。3、 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，则a= 。4、 已知，则y的取值范围是 。5、 若直线y=3x+k与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则常数k的值是 。6、 的最大值是 。7、 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，抛物线顶点为D，当ABD是Rt时，则k= 。当ABD是等边三角形时，k= 。8、 已知点A(x1，y1）与点B（x2，y2）在双曲线上，且kx2，则y1与y2的关系是（ ）A. y1y2 B.y12CD C、AB2CD D、AB与CD不可能相等9、 如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC交于点P，若CD=3，AB=4，则tanBPD= 。 10、 P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有 。下列命题中：相等的圆心角所对的弧相等；平分一弦的直径垂直于该弦；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。其中直命题的个数为（ ） A0个 B1个 C2个 D3个11、 如图1所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A2个 B3个 C4个 D5个12、 如图2所示，半径为1，圆心角为60的扇形纸片OAB在直线L上向右做无滑动的滚动，且滚动至扇形OAB处，则顶点O经过的路线总长为 .