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1、圆锥曲线大题归类一 定点问题例1.已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解析(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0，由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.(2)方法一：由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1.联立整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点
2、P的坐标为(，)，同理，点Q的坐标为(，)直线l的斜率为，直线l的方程为y(x)，即yx.直线l过定点(0，)方法二：由0知APAQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为ykxt(t1)，联立整理得(13k2)x26ktx3(t21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得3k2t21.由0，得(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，将(*)代入，得t，直线l过定点(0，)例2.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛
3、物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点解析(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(，t)，B(，t)因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky24y4b0.根据根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0.即2yAyB0，解得yAyB0(舍去
4、)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关二定值问题例3.已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k
5、2定值解析(1)依题意，由已知得c，则a2b22，由已知易得b|OM|1，所以a，所以椭圆的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，)，则k1k22为定值当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(3k21)x26k2x3k230，依题意知，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又y1k(x11)，y2k(x21)，所以k1k22，综上，得k1k2为定值2.例4 （2016北京理科）求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量
6、，从而得到定值三探索性问题例5.(2015新课标全国，12分，理)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析(1)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率
7、的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP.将点(，m)的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形例6.已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点
8、Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解析(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.yPkxPmm，即P(，)M(t,0)，Q(4,4km)，(t，)，(4t,4km)，(t)(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P(，)M(t,0)，Q(4,4km)，(t，)，(4t,4km)，(t)(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成
9、立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意四、 取值范围问题例7.(2015浙江，15分)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解析(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得()x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，设M为AB的中点，则M(，)，代入直线方程ymx，解得b.由得m.(2)令t(，0)(0，)，则且O到直线AB的距离d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.|AB|，例8.已知圆x2y
10、21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围解：(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB
11、|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S.即OAB的面积S的取值范围是.例9.已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围【解】(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1，A(2，0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.
12、因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意知t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t. t3等价于0，即0.由此得或解得kb0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
13、求的值；求ABQ面积的最大值解】(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.所以椭圆C的方程为y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0|FM|，点N的轨迹E为椭圆，且2a4，c，b1，轨迹E的方程为y21.a.当AB为长轴(或短轴)时，SABC|OC|AB|2.b当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为ykx，A(xA，yA)，联立方程得，x，y，|OA|2xy.将上式中的k替换为，可得|OC|2.SABC2SAOC|OA|OC|.，SABC，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积的最小值是.2，ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为yx或yx.
