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1、基于Matlab的FIR滤波器设计摘 要 介绍了利用MATLAB信号处理工具箱进FIR滤波器设计的三种方法：窗函数法、频率采样法和最优化设计，给出了详细的设计步骤，并将设计的滤波器应用到一个混和正弦波信号，以验证滤波器的性能。关键词：MATLAB，数字滤波器，有限冲激响应，窗函数，仿真The FIR filter design based on MATLABAuthor：Liu JunyueTutor：Huang LiqunAbstractIntroduced into the signal processing toolbox using MATLAB FIR filter design i
2、n three ways: Window function method, frequency sampling method and the most optimal design, detailed design steps are given, and the design of the filter is applied to a sine wave mixing signal, to verify the filter performance. Key Words: MATLAB, digital filter, finite impulse response, the window
3、 function, simulation 目 录1 绪论11.1 数字滤波器的研究背景和意义11.2 数字滤波器的应用及现状11.3 数字滤波器的设计方法12 数字滤波器的结构12.1 直接型12.2 级联型12.3 频率取样型13 FIR滤波器13.1 FIR滤波器的基本概念13.2 FIR滤波器的特点13.3 FIR滤波器的种类13.3.1 数字集成电路FIR滤波器13.3.2 DSP芯片FIR滤波器13.3.3 可编程FIR滤波器14 FIR数字滤波器设计14.1 窗函数法14.1.1 矩形窗14.1.2 海宁(Hanning)窗与汉明(Hamming)窗14.1.3 布来克曼窗(Bl
4、ackman)14.1.4 凯泽窗(Kaiser)14.1.5 窗函数法设计步骤及举例14.2 频率采样法14.2.1 基本思想14.2.2 约束条件14.2.3 设计误差14.3 最优化设计14.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则14.3.2 仿真函数15 结果分析15.1 窗函数法仿真结果15.2 频率采样法15.3 最优化设计1结 论1致 谢1参考资料1附 录1附录A11 绪论1.1 数字滤波器的研究背景和意义 当今，数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普
5、遍的关注。 数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化），这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号的经采样和量化后，得到的是数字信号是一个二维离散空间序列。
6、数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输时至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。1.2 数字滤波器的应用及现状数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点，已广泛应用于各个学科技术领域，例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代数字时代的到来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难
7、以解决的问题，例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。1.3 数字滤波器的设计方法数字滤波器按照单位取样响应的时域特性可以分为无限脉冲响应（IIR）系统和有限脉冲响应（FIR）系统。FIR 数字滤波器的优点在于它可以做成具有严格线性相位,而同时可以具有任意的幅度特性;它的传递函数没有极点;这保证了设计出的FIR 数字滤波器一定是平稳的。所谓数字滤波器设计，简单地说，就是要找到一组能满足特定滤波要求的系数向量a和b。而滤波器设计完成后还需要进一步考虑如何将其实现，即选
8、择什么样的滤波器结构来完成滤波运算。FIR数字滤波器的设计方法很多，其中较为常用的是窗函数设计法、频率采样设计法和最优化设计法。本文讨论利用窗函数法、频率采样法和等波纹切比雪夫逼近法（调用remez函数）来分别实现各种FIR滤波器的设计。窗函数法设计的基本思想是把给定的频率响应通过IDTFT（Inverse Discrete Time Fourier Transform），求得脉冲响应，然后利用加窗函数对它进行截断和平滑，以实现一个物理可实现且具有线性相位的 FIR 数字滤波器的设计目的。其核心是从给定的频率特性，通过加窗确定有限长单位取样响应；频率采样法设计的基本思想是把给出的理想频率响应进
9、行取样，通过 IDFT 从频谱样点直接求得有限脉冲响应；最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法，在 FIR DF的最优化设计中 ,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最大误差最小化)准则两种。2 数字滤波器的结构数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应、以及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用流图表示最为直接。一个给定的输入输出关系，可以用多种不同的数字网络来实现。在不考虑量化影响时，这些不同的实现方法是等效的；但在考虑量化影响时，这些不同的实现方法性能上就有差异。因此，运算结构是很重要的，同一系统函数H(z)，运算结构的不同，将会影响系统的精
10、度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。无限长单位脉冲响应滤波器与有限长单位脉冲响应滤波器在结构上有各自不同的特点，必须分别讨论。有限长单位脉冲响应数字滤波器的结构有限长单位脉冲响应滤波器的系统函数为 (2.1)其差分方程为 (2.2)其基本结构形式有下述几种。2.1 直接型 由公式（2.1）可得出图2.1所示的直接型结构。我们也称这种结构为抽头延迟线滤波器或横向型结构。由于上述公式就是信号的卷积型式，故还称为卷积型结构。图2.1 FIR滤波器直接型结构2.2 级联型将(2.1)式的系统函数分解成若干一阶和二阶多项式的乘积 (2.3)其中表示取的整数部分。若N为偶数，则N-1为奇数
11、，故系数中有一个为零，图2.2 FIR滤波器的级联型结构（N为奇数）这是因为，这时有奇数个根，其中复数根成共轭对，必为偶数，必然有奇数个实根。图2.2示出了N为奇数时，FIR滤波器的级联结构，其中每一个二阶因子用直接型结构实现。直接型结构和级联型结构在雷达信号处理中作为相关器和对消器等获得了广泛的应用。 2.3 频率取样型系统函数在单位圆上作N等分取样的取样值就是的离散傅里叶变换值H(k)，用表示的内插公式为 (2.4)由上式可见，FIR系统可用一个子FIR系统和一个子IIR系统实现，子FIR系统是一个由N节延迟单元组成的梳状滤波器，如图2.3所示。在单位圆上有N个等分的零点 (2.5) (2
12、.6)梳状滤波器的频率响应 (2.7)其幅度特性为 (2.8)其幅频响应如图2.3所示，由于其频谱形状像梳子，因此称其为梳状滤波器。图2.3 梳状滤波器结构及频率响应幅度子IIR系统是N个型的分式和的形式，每一个一阶网络在单位圆上有一极点 (2.9)因此网络对频率为的响应为，是一个谐振频率为的无耗谐振器。并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使在频率点处的响应就是。因此控制滤波器的响应很直接，这正是频率取样型结构的特点。图2.4 抽样点改在r passrad=0.2*pi; w1=boxcar(81); w2=triang(81); w3=hanning(81); w4=ham
13、ming(81); n=1:1:81; hd=sin(passrad*(n-41)./(pi*(n-41); hd(41)=passrad/pi; h1=hd.*rot90(w1); h2=hd.*rot90(w2); h3=hd.*rot90(w3); h4=hd.*rot90(w4); MAG1,RAD=freqz(h1); MAG2,RAD=freqz(h2); MAG3,RAD=freqz(h3); MAG4,RAD=freqz(h4); subplot(2,2,1); plot(RAD,20*log10(abs(MAG1); grid on; subplot(2,2,2); plot
14、(RAD,20*log10(abs(MAG2); grid on; subplot(2,2,3); plot(RAD,20*log10(abs(MAG3); grid on; subplot(2,2,4); plot(RAD,20*log10(abs(MAG4); grid on; 图4.3 窗函数设计的低通滤波器的幅度频率特性窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs效应。但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR滤波器幅频响应会有明显的Gibbs效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR滤波器的抽头数）Gibbs效应也不能得到改善。为了克服这种现象,窗函数应该使设计的滤波器：（1） 频率特性的
15、主瓣宽度应尽量窄,且尽可能将能量集中在主瓣内；（2） 窗函数频率特性的旁瓣趋于 的过程中，其能量迅速减小为零。4.2 频率采样法频率采样法是从频域出发,根据频域采样定理，对给定的理想滤波器的频率响应加以等间隔的抽样 ，得到： k=0,1,N-1 (4.15) 再利用可求得FIR滤波器的系统函数及频率响应。而在各采样点间的频率响应则是其的加权内插函数延伸叠加的结果。但对于一个无限长的序列，用频率采样法必然有一定的逼近误差,误差的大小取决于理想频响曲线的形状, 理想频响特性变换越平缓, 则内插函数值越接近理想值,误差越小。为了提高逼近的质量，可以通过在频率相应的过渡带内插入比较连续的采样点，扩展过
16、渡带使其比较连续，从而使得通带和阻带之间变换比较缓慢，以达到减少逼近误差的目的。选取w0,2内N个采样点的约束条件为： (4.16)(1) 增大阻带衰减三种方法：1) 加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。2) 过渡带的优化设计,利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。3)增大N。如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。代价是滤波器阶数增加，运算量增加。直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值，但是截止频率难以控制。典型应用：用一串窄带滤波器组成
17、多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度。4.2.1 基本思想 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特性则有较好的逼近。 4.2.2 约束条件为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H(k)要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位采样响应h(n)是实序列，且满足h(n)=+/-h(N-1-n) (4.17)由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。4.2.3 设计误差FIR设计步骤： 给定指标 k,Hk H(k) H(ej)或H(z)关心的是，由上述设计过程得到
18、的H(ej)与H（k）的逼近程度，以及H(ej)与H(k)的关系。令 ，则 单位圆上的频响为：这是一个内插公式，式中为内插函数。令则所以，在每个采样点上，频响 H(ej) 严格地与理想特性H(k)一致，在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大，在理想频率响应的不连续点会产生肩峰和波纹。N增加，则采样点变密，内插误差减小。图4.4 频率采样的响应4.3 最优化设计最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。在 FIR DF的最优化设计中 ,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫
19、逼近(也称最大误差最小化)准则两种。实际设计中 ,只有采用窗函数法中的矩形窗 才能满足前一种最优化准则 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。为了满足设计的要求 ,可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应 ,但此时的设计已经不能满足该最优化准则了。因此 ,要完成 FIR DF的最优化设计 ,只能采用后一种优化准则来实现。前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ej)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒量标准不
20、同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有最小均方误差准则最大误差最小化准则。1) 均方误差最小化准则若以E(ej)表示逼近误差，则 (4.18)那么均方误差为 (4.19)均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性
21、能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为： (4.20)如果采用矩形窗 (4.21)则有 (4.22)2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则） (4.23)其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域 h(n) 值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小,也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频
22、率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。可以证明，这是一个最小均方误差。所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。4.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则在滤波器的设计中 ,通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过对通带和
23、阻带使用不同的加权函数 ,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同 ,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。尽管窗函数法与频率采样法在FIR数滤波器的设计中有着广泛的应用, 但两者不是最优化的设计 。通常线性相位滤波在不同的频带内逼近的最大容许误差要求不同。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带) 的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得 和之间的最大绝对误差最小。等波纹切比雪夫逼近是采用加权逼近误差，它可以表示为： (4.24)其中，为逼近误差加权函数在误差要求高
24、的频段上，可以取较大的加权值，否则，应当取较小的加权值。 尽管按照 FIR 数字滤波器单位取样响应 h(n)的对称性和 N的奇、偶性，FIR 数字滤波器可以分为 4 种类型，但滤波器的频率响应可以写成统一的形式： (4.25)其中，k0 ,1 , H ()为幅度函数，且是一个纯实数，表达式也可以写成统一的形式： (4.26)其中，为的固定函数，为M个余弦函数的线性组合。4.3.2 仿真函数利用数字信号处理工具箱中的 remezord 和 remez函数可以实现 FIRDF的最优化设计。在此先介绍这两个函数:(1) n ,fo ,ao ,weights =remezordf ,a ,dev功能:
25、利用 remezord 函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数 n ,归一化频率带边界fo ,频带内幅值ao 及各个频带内的加权系数weights。输入参数f为频带边缘频率 ,a 为各个频带所期望的幅度值 ,dev是各个频带允许的最大波动。(2) h =remez(n ,fo ,ao ,weights, ftype)功能:利用 remez 函数可以得到最优化设计的FIR DF的系数 ,输入参数 n 是滤波器的阶数 ,fo ,ao ,weights参数含义说明同 (1)。ftype 是所设计的滤波器类型 ,它除了可以设计普通的滤波器外 ,它还可以设计数字希尔钞特变换器以及数字微分器。实际设计中 ,
26、由于 remezord 函数可跑高估或低估滤波器的阶数 n ,因此在得到滤波器的系数后 ,必须检查其阻带最小衰减是否满足设计要求。如果此时的技术指标不能满足设计要求 ,则必须提高滤波器的阶数到 n +1 ,n +2等。故等波纹切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器的步骤是： 给出所需的频率响应，加权函数和滤波器的单位取样响应的长度N。 由中给定的参数来形成所需的、和的表达式。 根据Remez算法,求解逼近问题。 利用傅立叶逆变换计算出单位取样响应 。5 结果分析5.1 窗函数法仿真结果采用特殊的窗函数如Hamming窗，可以减小Gibbs效应，但同时也会使滤波器的过度带变宽。波动幅度取决于窗函数幅
27、度频谱旁瓣的相对幅度, 而波纹的多少取决于窗函数旁瓣的多少，如图5.1所示。以上两点是就是窗函数直接截断Hd(n)引起的截断效应在频域的反映, 截断效应直接影响滤波器的性能, 因为通带内的波动会影响滤波器痛带中的平稳性, 阻带内的波动则影响阻带最小衰减,因此,减少截断效应也是FIR数字滤波器设计的关键之一。图5.1 窗函数设计的FIR低通滤波器频率响应5.2 频率采样法图5.2为在间断点处增加一个过渡点后的情况。从图5.3中可以看出滤波器的带外衰减指标有了明显的改善!但这同时增加了滤波器的过渡带宽。所以，在带外衰减和过渡带宽这两个指标之间需要有一个折衷。因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，
28、所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。频率采样法偏离设计指标明显，阻带衰减最小，只有适当选取过渡带样点值，才会取得较好的衰耗特性。图 5.2 FIR的单位取样响应图5.3 FIR的低通衰减幅频特性5.3 最优化设计在设计中 ,如果该滤波器的特性不满足要求 ,那么 ,原有参数必须作适当调整。这在程序中很容易实现 ,只需对参数进行重新设定 ,就可以得到新条件下滤波器的特性。采用最优化设计方法时大大减小了滤波器的阶数,从而减小了滤波器的体积,并最终降低了滤波器的成本。这样使得设计出来的滤波器更为简单经济。因而在实际的滤波器设计中,这种最优化方法是完全可行的。在实际应用中 ,如果需要对某一信号源进行特定的滤波 ,并要检验滤波效果 ,应用传统方法实施起来比较繁琐。在Matlab环境下,可先用软件模拟产生信号源 ,再设计滤波器对其进行滤波 。图5.4 滤波器输出的幅频及相频响应特性同样是设计一个FIR低通数字滤波器，综合分析可以
