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1、混合滤波器组最优化设计蔡柯（辽宁工程技术大学 电控院，辽宁葫芦岛 125100）摘要: 模拟分析滤波器组的实现欠理想、系统噪声以及数字综合滤波器有效阶数实现所带来的系统误差均有可能造成混合滤波器组的设计出现解不稳定、无唯一解等病态问题, 影响混合滤波器组的准确重构效果。本文首先给出了满足准确重构条件下, 以综合滤波器组频域响应为求解变量的混合滤波器组线性求解模型。针对线性方程中系数矩阵以及目标向量受扰动误差影响特点, 提出一种新的基于加权总体最小二乘正则化算法的IIR形式综合滤器设计方法。算法以系统扰动误差最小化为目标函数, 根据随机误差变量的二阶统计特性, 采用加权总体最小二乘算法抑制滤波器
2、实现误差以及随机噪声等扰动因素影响, 使得到的综合滤波器组频域响应解的加权误差平方和最小化, 并通过 Tikhonov 正则化方法优化病态情况下方程组解的稳定性。提出一种IIR 类型的综合滤波器系数的求解算法, 并利用正则化方法优化滤波器系数, 提高系统稳定性。该方法可应用于过采样混合滤波器组的设计。仿真结果表明该算法的有效提高系统鲁棒性和改善重构性能。关键词: 加权总体最小二乘; 混合滤波器组; Tikhonov 正则化中图分类号: TNgl 1.72 文献标识码: AHybrid Filter Banks Optimization Design UsingCaiKe (College of
3、 Science, Liaoning Technical University, Huludao123000, Liaoning, China)Abstract:The nonideal realization of analogy analysis filters ,system noise and digital synthesis filter banks fitting error for limited order,which usually impact the reconstruction performance of the hybrid filter banks and ma
4、ke the ill-posed problems happened with the solution unstable and non unique solution exist. A linear equation system for hybrid filter banks is presented by solving the frequency response of the synthesis filter banks derived from the perfect reconstruction conditions. A novel regularization criter
5、ion for designing IIR-type synthesis filter banks based on weighted least squares methodology are proposed for solving the disturbance in the coefficient matrix and object vector of the linear equation,With the objection function Of minimizing system error,the disturbers which caused by realization
6、error and random noise can be restrained by means of the weighted least squares based on the second order statistics. So the weighted mean squares of synthesis filter banks frequency responses can be Minimize. The regularization criterion can overcome the in-stability solution of weighted least squa
7、res effectively. A novel approach for designing IIR-type filters are given,which can optimize the coefficients of filters by means Of the regularization method and improve the stability of hybrid filter banks. This approach can also be used in designing over-sampling hybrid filter banks. T he simula
8、tion results show that this approach can improve the system robust and reconstruction performance significantly .Keywords: weighted total least-squares ;hybrid filter banks;Tikhonov regularization0引言 随着无线通信技术的广泛发展,针对超宽带、高速率信号的模数转换技术成为备受关注的研究重点及热点。混合滤波器组(HFB)是一种高速、高分辨率 ADC的实现方法,系统采用模拟滤波器组将宽频谱信号分割为多路窄
9、带信号进行低速采样, 各子带信号内插后由数字综合滤波器合成为原模拟输人信号的等效Nyquist 采样信号,如果忽略 A DC 的量化误差,该模数混合滤波器组在理论上可以实现精确的重构。文献1一6对 H FB 的设计方法进行了深人讨论。文献4提出一种基于功率互补对的 H FB 设计方法,能够以低阶、无源RLC 电路实现对信号的高分辨率重构,但该方法局限于双通道模型应用。在此基础上文献5一6将H FB 完美重构条件表示成关于综合滤波器组系数的线性方程,并分别推导了基于 LS以及 TI JS 理论的求解算法,直接优化得到 FI R 类型的综合滤波器组系数。但该算法限于线性模型,无法应用于有理分式模型
10、的 II R类型滤波器,实际应用中通常要求滤波器具有较高阶数。 然而在工程实践中, 由于模拟滤波器组的实现误差 、数字滤波器有限阶数实现引入的拟合误差以及热噪声等影响,往往使 H FB 设计中出现病态问题, 影响解的稳定解。针对这种情况 ,本文提出一种基于加权总体最小二乘(W TLS )理论正则化方法的 H R 形式综合滤波器设计算法。算法能有效抑制滤波器组实现误差以及扰动噪声影响,提高病态情况下系统的稳定性。所设计的 HR 形式综合滤波器能 以较低的阶数取得较好的重构性能。该方法还可以应用于过采样H FB 的设计 ,能进一步降低 H FB 的失真以及混叠误差影响。本文组织如下:第一部分介绍混
11、合滤波器组数学模型;第二部分分析基于 WTLS 原理的混合滤波器组正则化设计算法;第三部分给出了算法的性能仿真结果;第四部分是结论。1混合滤波器数学模型图 1 K通道混合滤波器组 ADC 系统方框图图 1 为 K通道混合滤波器组 A DC 系统图。不考虑量化噪声 ,输出信号y(n) 的频域响应可以表示为: （1） 其中： （2）当HFB满足完美重构条件有下式成立： （3）通常称式(3) 中的p为0时为失真函数,而称其余为混叠函数。将式(3) 中的完美重构条件写成矩阵形式有: （4）其中, c和d 均为常数 ,分别表示幅度增益以及系统时延;令 H 表示列满秩的系数矩阵;f 表示综合滤波器组频域响
12、应向量,t 表示完美重构向量，则式(4 )可以简记为:Hf=t。2综合滤波器组设计 文献5 ,6中讨论的 H FB 设计方法均是直接给出了待求解的 K 个通道 FI R 滤波器系数关于 L 个频率分量的线性方程组, 然后采用 TLS 、LS方法进行计算。当 FI R 滤波器阶数为 N 时 ,方程组系数矩阵维数是(KL )x( KN )。这种设计方式存在的问题是,采用FI R 形式滤波器来逼近综合滤波器的幅频特性时,通常要求 FI R 滤波器具有的很高阶数;在对频谱分辨率要求较高的应用中, 系数矩阵将庞大, 运算复杂;而且该算法很难推广到 II R 形式的综合滤波器设计中去。 文中给出了一种新的
13、 IIR 形式综合滤波器组的设计思想。首先根据 W TLS 正则化方法求解综合滤波器组频域响应 ,并在此基础上推导了IIR 形式综合滤波器组系数的优化算法:A .基于总体最小二乘正则化方法的综合滤波器频域响应求解 本节根据 Tikhonov 正则化原理,提出一种新的基于W TLS 理论的混合滤波器正则化求解算法考虑到 H FB 实际应用中存在模拟器件实现误差以及热噪声等干扰因素,文中针对EI V (Er In All Variables )线性模型进行分析,已知 EI V 模型有: （5）式中,e是观测误差向量,E是 H 矩阵中含有的随机误差,假设e ，E 均服从高斯分布时，分别为各自对应的权
14、矩阵以及单位权方差。WTLS 的正则化求解问题转变为含约束条件下的最小化问题: （6）构造拉格朗日目标函数可以得到: （7）将目标函数 J 分别对 e、E求导得到: （8）求解可得:e，E ;将其代人(7)式中可导出: （9）将上述计算结果代人（8）式中第三个最终得到: （10）由式(10) 进一步讨论当权矩阵P为单位阵时,有: (11)其中,b是中间变量,其解析式为: (12)式(11)即退化为 TLS 的正则化的求解结论 上述求解即便在正则化参数 a 已知情况下 ,仍需要通过迭代方法计算f。算法求解流程设计如下 :l)采用总体最小二乘解作为待估参数f初值,并按(9) 式计算中间变量初值;2
15、)按式(9) 、(10)计算首次迭代结果;3)重复步骤2求解第i次迭代结果;4)判断条件是否成立，若成立则停止迭代，否则重复步骤3 ,直至算法收敛; 误差矩阵E 主要是由模拟滤波器的实现误差产生的,各误差向量之间具有相关性。加权矩阵的目的就是利用误差量二阶统计特性的先验信息, 使估计误差平方和最小化。正则化方法主要是用来优化部分不稳定频率分量的取值,使得采用低阶的滤波器逼近,能减小估计误差。文献8 ,9中详细讨论传统正则化方法单位权方差无偏估计的方法。由于 WT LS 方法中H矩阵也是随机量, 其正则化解的方差分量无偏估计比较复杂, 因此,关于 W TLS 正则化方法的单位权方差问题有待下一步
16、研究。B .N 阶IIR 综合滤波器组设计 利用上述的 W TLS 正则化方法可以计算得到数字综合滤波器组的频域响应值,本小节在此基础上进一步完成子带滤波器的设计。这里给出一种IIR 类型综合滤波器设计算法,已知P 阶II R 类型数字滤波器的傅里叶变换形式为: （13） 通常由频域响应直接去估计有理分式系数往往比较复杂,文献 7中将有理分式滤波器输出响应的拟合问题转化为了线性模型的参数求解问题,有 : （14）其中,c为待求解的IIR滤波器组系数向量;g表示期望输出的综合滤波器组频域响应向量;Z 是 L 维的傅里叶变换的系数矩阵。针对式(14 )的解法很多,本文采用式( 11) 结论计算II
17、 R 滤波器系数。3仿真分析 仿真采用四通道的混合滤波器组 ,模拟分析滤波器组采用二阶的 LC 电路实现 ,分析滤波器组的传输函数为: (15)其中， 分析滤波器组频域响应如下图: 性能仿真中, 假设误 差量 e ，E的单位权均方误差均为 10的负10次方。滤波器组时延 d =64。仿真计算采用 12 8 点 FFT。考虑到输出信号各频率分量上的混叠误差是各混叠函数 T累加造成的, 因此, 定义系统混叠误差以及失真的计算公式分别为 : （16） （17） 采用WTLS 正则化法设计的IIR 形式 H FB能有效利用扰动误差协方差矩阵的先验信息 ,设计加权矩阵使计算得到的综合滤波器组频域响应的加
18、权误差平方和最小化，系统重构误差小,但在低频和高频处误差有波动,实际应用中仍需注意。 当 HFB 的内插倍数 M 小于通道数 K 时,称为过采样 HFB,可以实际应用中可以一定程度降低对模拟分析滤波器的设计要求。过采样 H FB 中的系数矩阵 H是欠定矩阵,此时，综合滤波器组解不唯一,采用 W TLS正则化方法能得到该种病态问题下的稳定解。放宽了解空间的约束条件,因此,系统性能得到进一步改善。仿真表明,设计 II R 滤波器并不是一味的阶数越高越好,选择合适的阶数能以较低的实现复杂度得到较好的系统重构性能。4结论 本文首先提出一种基于加权总体最小二乘正则化算法的II R 类型混合滤波器设计方法
19、,不仅能有效抑制滤波器实现误差以及随机噪声对信号重构的影响;同时,采用Tikhonov, 正则化方法,有效解决病态问题情况下的数字综合滤波器解不稳定问题,增强系统鲁棒性能,并能应用于过采样 H FB 设计。仿真证明基于加权总体最小二乘正则化方法的混合滤波器设计算法的可靠性。参考文献1Velazques.S.R , Nguyen.T.Q , Broadstion.S.R. Design of hybrid filler banks for analog/digital conversion J .IEEE Trans signal Processing. 1998, 46 (4):956一967
20、.2Yue Yang, Su一juan Liu,An Improved Method on the Performance Of Hybrid Filter Banks of A DC due to Realization Error,in Proc. ICSP2008 Conf.Signals, Nov, 2008 ,PP . 1766 一1770 .3Wu .S. L , Design of Practically Perfect一Reconstruction Cosine Modulated Filter Banks : A Second 一Order Cone Programming
21、Approach ,in IEEE transactions on circuits and systems , March 2004, vol .51 , NO .3 .4Lowenborg.p , Johansson.H , Wanham m ar .L ,A class of two channel hybrid analog/digital filter banksJ ,in Proceeding Of IEEE Midwest Symposium on Circuits and Systems ,August 1999 , vol. l , pp . 14 一17 .5Petresc
22、u.T.G, Oksman.J, Duhamel.P ,Synthesis of hybrid filter banks by global frequency domain leasts square solving J , in IEEE International Symposium on Circuits and Systems,May 2005 .6Cheng.J, hu.W.Y ,Hybrid Filter Banks optimization Design Using Total Least square Solving J ,IEEE ICMMT 2008 Proceedings.7蔡振浩,于宏毅. 基于加权最小二乘正则化方法的混合滤波器组最优化设计J. 信号处理.2010 ,26 (7 ):1110一 1114 .8王彦飞. 反问题的计算方法及其应用 M .北京:高等教育出版社,2007:45一47.
