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1、信息学竞赛中问题求解常见题分析（四）（排列组合问题） 一、知识点：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn。种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn。种不同的方法。2 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1*m2*mn。种不同的方法。3 排列的概念：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个
2、元素的一个排列。4 排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 5 排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(m，nN，mn)6 阶乘：n!表示正整数l到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!=l。7 排列数的另一个计算公式： 8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合9 组合数的概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示10 组合数公式：，或 (n，mN，且mn) 11 组合数
3、的性质1：，规定：=1； 2：。12 圆排列 (1) 由Aa1，a2，a3an的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫一个圆排列(或叫环状排列)。(2) 圆排列有三个特点：(i)无头无尾；(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列；(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的圆排列(3) 定理：在A=a1，a2，a3an的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆排列，圆排列数为。13 可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列。在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二第n位是的选取元素的方法都是m种
4、，所以从m个不同的元素中，每次取出n个元素的可重复的排列数为时mn。14 不尽相异元素的全排列如果n个元素中，有p1个元素相同，又有p2个元素相同，又有ps个元素相同(p1+p2+psn)，这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，它的排列数是 。二、解题思路： 排列组合题的求解策略 1 排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略。2 分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理。3 对称思想：
5、两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数。4 插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间。5 捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其他“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列。6 隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型。如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程a+b+c+d=12的正整数解的个数。解排列组合问
6、题：首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑是“有序的”还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法。三、讲解范例： 1相邻问题整体捆绑法 例1. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起，有多少不同排法?解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有=1440种。 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要
7、注意合并元素内部也可以作排列一般地：n个人站成一排，其中某m个人相邻，可用捆绑法解决，共有种排法。练习：5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。解：因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。2不相邻问题选空插入法 例27名学生站成一排，甲乙互不相邻，有多少不同排法? 甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为
8、：=3600种。插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。若个人站成一排，其中m个人不相邻，可用插空法解决，共有种排法。练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张，8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法? 分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待，所涉及问题是排列问题。解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共
9、有的不同坐法为*种。3复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面，再从整体中排除。解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个。解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有-3=32个。例4.从43人中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析：此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成
10、各种情况遗漏或者重复的情况而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常地简便。 解：43人中任抽5人的方法种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有乙种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有-种。 4.特殊元素优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4 1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种。 解：先考虑特殊元素(老师)的排法，因老师不排在两端，故可在中问三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有：种，所以共有：=72种不同的排法。 例5乒乓球队的10名队员
11、中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种。解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有.=252种。5多元问题分类讨论法对于元素多，选取情况多的问题，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( ) A 42 B 30 C 20 D 12 解：增加的两个新节目，可分为相邻与不相邻两种情况：1不相邻
12、：共有：种；2相邻：共有：种。故不同插法的种数为：+=42，故选A。6混合问题先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略例7. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有( ) A B。3 C. D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法，分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有种，故选A. 例8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有() A24种B1 8种c1 2种D6种 解：先选后排，分步实施。由题意，不同的选法有种，不同的
13、排法有故不同的种植方法共有=18，故应选B。7相同元素分配档板分隔法 例9把10本相同的书发给编号为1，2，3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。解：先让2，3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)，共有种插法，即有l 5种分法。8转化法 对于某些较复杂的或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。例10. 高二年级
14、8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种? 分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转化为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。解：此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题。因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素
15、。(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。1(NOIP 2002)在书架上放有编号为1，2，n的n本书。现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。例如：n=3时： 原来位置为：1 2 3 放回去时只能为：3 l 2或2 3 1这两种问题：求当n=5时满足以上条件的放法共有多少种?(不用列出每种放法)解析：这是一道排列组合中的计数问题，有关这方面的基础知识在前几期已经有老师阐述得比较明确，笔者在此不再赘述，只想对本题谈一下笔者的拙见，希望能对初学者有点帮助。因为书是有编号
16、的，故书是5本不同的书，我们分别记为1，2，3，4，5，有5个空位供放这5本书，只要我们将这5本书放到这5个空位，我们的任务就算完成了。由于这5本书放回去的时候每本书不能放回原来的位置，我们可以将这5个位置分别记为1，2，3，4，5号位，因此我们放书的时候就有一个先后顺序问题：步我们可以从这5本不同的书中任意选出一本书(不妨选2号书)，放到除了2号位之外的四个位置中的任何一个位置，有种放置方法，不妨设放到3号位上如图所示：2号书1号位 2号位 3号位 4号位 5号位 步接下来我们该放3号书，这时候有两类情况：I类：3号书恰好放到2号位置上，这样剩下的3本书的排列方法就如同题干上所说的n=3的情
17、况，有种放法，如图所示：3号书2号书 l号位 2号位 3号位 4号付 5号位 类：3号书不放在2号位，而是放在除2号位之外的三个位置中的任意一个位置上有种放法，不妨设放到1号位，接下来该放1号书，我们从剩余的3个空位中选一个放1号书，有种排法，不妨设放到4号位，则剩余的两本书只有一种排法。 3号书2号书1号书l号位 2号位 3号位 4号付 5号位 综上两步将5本书放到符合条件的5个空位的排列种数有：=4(2+33)=44(种) 此题的难点就在于第步的分类上，如果搞清这一点，问题就好解决了。2(NOIP 2004)由3个a，5个b和2个c构成的所有字符串中，包含子串“abc的共有( )个。 A4
18、0320 B39600 C840 D780 E60 解析：3个a，5个b，2个c共10个字符，将“a”、“b”、“c组成一个原子团(特殊字符)“abc”与剩下的7个字符看成共8个字符的排列，这样有8个空位置可供它们选择，如果这8个字符都放到这8个位置，任务就算完成。一共 是10个字节然后当abc在第一位时,后面一共有105种排列(7!/(2!*4!)=105)当abc在第二位时,也是105种.当abc在第八位时,也是105.105*8=840种里面有重复的,要减去,就是减去有2个字字串abc的.一共60种(6!/(2!*3!)=60)所以840-60=780种具体放法如下： 步先放“ahc”：
19、从8个位置中任选一个放“abc”有种放法； 步再放“a：、从剩余的7个位置中选2个放“a”有：种放法； 步接着放“b”：从剩下的5个位置中选4个放“b”有种放法； 步最后放“c”：有一种放法。综上共有=82 15=840(种) 上述放法中有包含两个“ahc”字符的情况，这些情况都有重复计算，应该除去。这种情况有： 从10个字符抽出两组“ahc”后还剩余4个字符，与这两个原子团(特殊字符)共同组成6个元素，有6个空位置可供选择，将这6个元素放到这6个空位置就算完成任务。具体做法如下： 步放“abc”：从6个位置中选2个放“abe”有：种放法； 步放“a：从剩下的4个位置中选一个放“a”有：种放法
20、； 步放“b”：从剩下的3个空位放“c”有：种放法； 综上共有=65/(21)41=1 54=60(种)。由上知，符合条件的包含子串“ahc”的个数有；=84060=780(个)，故答案选D说明：对这一类题目来说，字符(串)“abc”、“a、“b”、“c它们在放的时候没有先后顺序，先放谁，后放谁都一样，计算结果都是一样的，并非一定按上面顺序，有兴趣的同学不妨试一试。 3(NOIP 2007)给定n个有标号的球，标号依次为1，2，3，n。将这n个球放入r个相同的盒子中，不允许有空盒子，其不同的放置方法总数记为S（n，r）。 例如：S(4,2)=7，这7种不同的放置方法依次为： (1),(234)
21、 (2),(134) (3),(124) (4),(123) (12),(34) (13),(24) (14),(23) 问当n=7，r=4时，S(7,4)=? 解法一：递推公式S(x,y)=S(x-1,y)*y+S(x-1,y-1)。因为把X个球放入Y个箱子，相当于先把X-1个球放好再放最后一个。最后一个有两种放法：放入前面已经有球的箱子或者独占一个箱子。前者对应S(x-1,y)*y (放入每一个不同的箱子都是一种不同的放法，因为箱子内原来的球不同)，后者对应S(x-1,y-1)。 解法二：将这n 个球放入r 个相同的盒子里，不允许有空盒，因为是相同的盒子,所以是一个组合问题.既将n个球分成
22、r份.这样当n=7，r=4时，将7个球分成4份,有三种分法:(1)分为4,1,1,1(2)分为3,2,1,1(3)分为2,2,2,1 第一种分法有C(7,4)=35种 第二种分法有C(7*3)*C(4,2)=210种 第三种分法有C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)/A（3,3）=105种 S（7，4）= C(7,4)+C(7,3)*C(4,2)+C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)/A（3,3）=350 C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数 A(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的排列数4. (NOIP 2008)书架上有21本书，编号从1 到 21 从中选4
23、本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有_种。标准答案是3060种。3060=C(18,4)。这个答案可以怎么推到呢？一种方法是，先把选到的4本书提出来不考虑，也先不考虑选法的数量（一会我们可以看出这一点）。剩下的17本书的前后我们一共要插入4本书，也就是说有18个位置等待插书。一共要插入4本书，也不能有两本书插入同一个位置，所以最后的插法个数为C(18,4)，很显然，因为这21本书是有序的，所以一开始我们假设抽出的4本书不用考虑有多少情况，因为每种情况和一种选法对应了。5.(NOIP 2009)1. 拓扑排序是指将有向无环图G中的所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若E(G
24、)，则u在线性序列中出现在v 之前，这样的线性序列成为拓扑序列。如下的有向无环图，对其顶点做拓扑排序，则所有可能的拓扑序列的个数为_。【分析】432用排列组合即可，先确定12346的顺序，然后将7插入内部有两个位置可选，然后将5插入时候，可以有6个位置选择。最后，放89的时候，考虑两种情况，89在一起，有8个位置选；89不在一起，8个位置选2个。 C(2,1)C(6,1)C(8,1)+C(8,2)=26(8+28)=432解决排列组合问题的十三法宝一、相邻问题捆绑法把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列例1：A、B、C、D、E五人并排成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，
25、那么不同的排法有（）A60 B48 C36 D24分析：把A、B视为1人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，即24二、相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。例2：七个站成一排，如果甲、乙二人必须不相邻，则排法有（）A1440 B3600 C4820 D4800分析：除甲、乙外，其余5人排列为种，再用甲、乙去插六个空位，有种，不同排法种数为3600。三、定序问题对称法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用对称思想解题，先排后除，。例3：A、B、C、D、E五个站一排，B必须站A右边，则不
26、同的排法 （ ）A25 B60 C90 D120分析：五个全排列，B在A右边和B在A左边排法数相同，即60。引例：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2个节目插入原节目单中，则不同的插法有（）种。分析：原定的5个节目顺序已定，则不同的插法有四、定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（或几个）元素再排其他元素。例4：一个老师和四名学生排成一排，老师不在两端，则不同的排法有（）种。分析：老师在中间3个位置上选一个位置有种，四名同学在其余四个位置有种，其72种。五、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。例5：8人站前后2排，每排
27、4人，其中某2人站在前排，某1人站在后排有（）种排法。分析：看成一排，某2个人在前半段4个位置中选排2个，有种，某1人在后半段4个人位置中选一个有种，其余5人在余下5个位上有种，故共有5760种排法。六、乱座问题分步法把元素排列到指定号码位置上，可先把某个元素按规定排入，第2步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。例6：将数了1，2，3，4，填入标号为1，2，3，4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）种。分析：先把1填入方格，符合条件有3种，第2步把被填入方格的对应数字填入其他3个方格，又有3种方法，第3步填余下的2个数字，只有1种填法，故共有3319
28、种。引申：n封装入n个信封时全部装错的装法总数为。通常称为伯努利一欧拉错装信封问题，又称为乱序排列，即把n个元素的排列a1，a2，L，an重新排列，使每个元素都不在原来的位置上的排列问题。七、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容几类情况，分别计算，最后总计。例7：由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）个。分析：个位数字只能是0，1，2，3，4共有5种情况，分别有，个，合并总计300个。八、“至少”问题间接法例8：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙电视各一台，则不同取法共有（）种。分析：至少各一台反面
29、就是分别只取一种型号，不取另一种型号，故种。九、条件问题排除法在被选总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不合条件者。例9：正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（）个。分析：7点取3点有种，但有3组3点共线，不构成三角形，故种。十、选排问题，先取后排法。从n类元素中取出符合题意的n个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例10：四个不同球放入编号1，2，3，4四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有（）种。分析：先取4个球中的2个为一组，另2组各1球有种，然后排列，在4个盒中每次排3组有种，共有144种。十一、指标问题用“隔板法”例11：将10个保送生预选指标分配给某
30、重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？分析：将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分成6部分，每一种插法就对应一种分配方法，故有种方案。注意：隔板法与插空法是不同的，隔板法只适用于相同元素的分配问题。十二、平均分堆到指定位置用“填空法”例12：将6本不同的书平均分给三位同学，求不同的分法数？分析：甲同学得2本种分法，乙同学得2本有种分法，丙同学得2本有种分法，故总分法数为=90种。十三、平均分堆不到指定位置，其分法数为：平分到指定位置、堆数的阶乘，分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，即平均分堆到位的分法数平均分堆不到指定位置堆数的阶乘例13：将6本不同的书平均分成3堆有种。
