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1、31函数与方程31.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系教学重难点：1重点：函数零点的概念和函数零点的求法 2难点：零点的确定知识链接考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x22x30x22x10x22x30函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图象方程的实数根x11，x23x1x21无实数根函数的图
2、象与x轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点预习导引1函数的零点对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点存在的判定方法如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不
3、一定成立要点一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用
4、函数的性质找出零点跟踪演练1判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)x22x的零点为(0,0)，(2,0)；(2)函数f(x)x1(2x5)的零点为x1.解(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)x22x的零点为0和2，故(1)错(2)虽然f(1)0，但12,5，即1不在函数f(x)x1的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故(2)错要点二判断函数零点所在区间例2在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.答案C解析f20，f()10，ff0，零点在上规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象2要正
5、确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点跟踪演练2函数f(x)exx2所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)答案C解析f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点要点三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)ln xx23的零点的个数解方法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标
6、系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点方法二由于f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)
7、和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数跟踪演练3函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点1函数y4x2的零点是()A2 B(2,0)C. D.答案D解析令y4x20，得x.函数y4x2的零点为.2对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f
8、(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解答案D解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解3函数ylg x的零点所在的大致区间是()A(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)答案D解析因为f(9)lg 910，f(10)lg 1010，所以f(9)f(10)0，所以ylg x在区间(9,10)上有零点，故选D.4方程2xx20的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析在同一坐标系画出函数y2x，及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.5函数f(
9、x)x22xa有两个不同零点，则实数a的范围是_答案(，1)解析由题意可知，方程x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础一、基础达标1下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故
10、函数没有零点2函数f(x)(x1)(x23x10)的零点个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.3根据表格中的数据，可以断定函数f(x)exx2的一个零点所在的区间是()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，f(1)f(2)0，f(x)在区间(1,2)上存在零点4函数f(x)ln x2x6的零点所在的区间为()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5
11、)答案B解析f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，所以f(2)f(3)0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)5方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)log333310，那么方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)6已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_答案0解析奇函数的图象关于原点对称，若f(x)有三个零点，则其和必为0.7判断函数f(x)log2xx2的零点的个数解令f
12、(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点二、能力提升8若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，abc，f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，
13、b)和(b，c)内9若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，则a_.答案0或解析a0时，f(x)只有一个零点1，a0时，由14a0，得a.10设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_.答案2解析令f(x)ln xx4，且f(x)在(0，)上递增，f(2)ln 2240，f(3)ln 310.f(x)在(2,3)内有解，k2.11已知函数f(x)x22x3，x1,4(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点？解(1)依题意：f(x)(x1)24，x1,4，其图象如图所示由图可知，函数f(x)的值域为4,5(2)
14、函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点方程f(x)m在x1,4上有两相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4m0，0m4.当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点三、探究与创新12已知二次函数f(x)满足：f(0)3；f(x1)f(x)2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)
15、，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)，得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点由图象得解得3m，即实数m的范围是.13已知二次函数f(x)x22ax4 ，求下列条件下，实数a的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2a.(2)因为方程x22ax40的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)52a0，解得a.(3)因为方程x22ax40的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得a.
