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1、教师: 学生: 年级: 初二 科目： 数学 时间: 2011 年 10 月 5 日 课次： 一、教学分析1.教学目的ABC1、理解勾股定理及逆定理。2、勾股定理及逆定理的应用。3、本章的重要题型。2.考点分析重点、难点：勾股定理及逆定理的应用。二、教学过程一、前置准备：1、在直角三角形中，两直角边的 等于 .若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则 。（勾股定理）2、在三角形中，若 等于第三边的平方，则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法（勾股定理逆定理）3、能构成直角三角形边长的三个称为勾股数。常见的勾股数有：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；9、40、41；10、24
2、、26； 4、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（）例1（1）在直角ABC中， C=90，a=5，b=12，则c= 。（2）在直角ABC中， B=90，a=3，b=4，则c= 。（3）在直角ABC中，a=5，b=12，则c= 。(4) 如图2，在ABC中，ADBC，D为垂足，且BD=6，AD=6，SABC=42，则AC= 。(5) 在ABC中, C=90,BC=4，BC:AB=4:5，则BC上的高 。(6) 已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积 。（7）在RtABC中，BC=7，AB=24，若第
3、三边为整数，则第三边AC= 。（8）已知：如图以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为 。（9）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯（10）求证：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。（逆命题）变式1-1: （1）在直角三角形ABC中，A=B=45，AC=2，则AB= 。（2）在直角三角形ABC中, A=C,AC=4，则AB= ,CB= 。（3）在等腰直角ABC中，C=90，则AB:AC:BC= 。变式1-2:（1）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）在直角ABC中，C=90，B=30，则AB:AC:B
4、C= 。（3）如图，在ABC中，ACB为直角，A=30，CDAB于D若BD=1，则AB= 。（4）已知直角三角形中30角所对的直角边是2cm，则另一直角边长为 cm，斜边长为 cm。（5）直角三角形中30角所对的直角边长为1，则60角所对的直角边的长度为 。（6）在直角三角形中，若一个锐角为30，斜边与较小直角边的和为18cm，则较大直角边为 cm。（7）直角梯形的一腰长为16，其中一底角为30，则梯形的另一腰长为 。（8）如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是BAC的平分线，已知AB=，那么AD= 。（9）如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C，则AD= 、CD= 。专题2勾股
5、定理与图形面积例1如图1，在RtABC中，ACB90，以ABC各边为边在ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3 =225，则S2= 。思考：将ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？变式2-1:如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A、Sl+S2S3 B、Sl+S2S3 C、S1+S2=S3 D、S12+S22=S32变式2-2:如图所示：B=90ACD=90，四边形ABCD的面积是多少？变式2-3:在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，
6、2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 。4变式2-4:如图，在四边形ABCD中,B=D=90AB=20,BC=15,CD=7则四边形ABCD的面积是 。变式2-5:在四边形ABCD中,AB/CD,AD/BC,CAAB 若AB=3,BC=5,则四边形ABCD的面积是 。变式2-6:已知ABC中，C=90，AB=5，AC=4，以直角边BC为直径作圆，则这个半圆的面积是 。变式2-7：如图，已知ABC中，ACB=90，AC=BC=4，分别以AB为直径作半圆，以AC为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为 变式2-8：已知在直角三角形ABC中，C=90，
7、且AB=5，AC:BC=4:3，则直角三角形的面积为 。变式2-9：如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是3和2，则正方形的面积是 。 变式2-10如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是 。变式2-11：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 。变式2-12：如图，在长方形ABCD中，BC=3，AC=5，E为BC的中点，F在AB上，且BF=2AF，则四边形AFEC的面积为 。变式2-13：如图18121，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_.变
8、式2-14：已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到OA3B3，OA4B4，OAnBn（如图）求OA6B6的周长专题3勾股定理与方程（等式）（常见等式：面积法、公共边、勾股定理）例3 已知一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，求三角形的面积。变式3-1：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为 变式3-2
9、：在RtABC中，ACD=90，AC=5，BC=12，CD是斜边AB的高，求CD的长。变式3-3：如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm，BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，C与E重合，你能求出AD的长吗？变式3-4：在ABC中,C=90,DEAB,AE=BE,若AC=36cm,DA=26cm，求BC的长。变式3-5：如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，那么BED面积是多少？变式3-6：已知，在四边形ABCD中,AC=BC,将四边形ABCD沿AE对折,使CE、BE在同一条直线上,那么点B落在点F
10、上，已知FC：CB=7:9，AB=12，求折痕AE的平方。变式3-7：如图，已知在ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长专题4勾股定理及逆定理的实际应用例4 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东45度方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响.(1)该城市是否受到这次台风的
11、影响？请说明理由;(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？变式4-1：如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？变式4-2：如图4，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离队点的
12、距离是_米变式4-3：如图6，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A10米 B15米 C25米 D30米变式4-4：如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？变式4-5：如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米， 1.732）变式4-6：一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子
13、的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论。变式4-8：一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？变式4-9：已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC是直角三角形。变式4-10：已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？变式4-11：已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判
14、断ABC的形状。变式4-12：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高专题5证明类例5 已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD.求证：ABC是直角三角形。 变式5-1：（1）如图1是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（2）如图2，RtABCRtCDE，B=D=90，且B，C，D三点共线试证明ACE=90；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程变式5-2
15、：在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4（ ab），即（a+b）2=c2+4（ ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+p
16、q变式5-3：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连接CC，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCCD的面积验证勾股定理：a2+b2=c2变式5-4：如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；专题6最短路程问题例6如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点
17、爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快 25秒可爬到B点。变式6-1：如图5，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m（结果不取近似值）变式6-2：我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，（如图）则这根藤条有 29尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）。变式6-3：如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B
18、距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是 1cm。变式6-4：如图21，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDL第21题图（变式6-5：如图是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm、高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，问吸管至少要多长？专题7探究类问题例7 ABC中，BC，AC，AB，若C=90，如图（1），
19、根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论. 变式7-1：已知： RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l.(1)填表：(2)如果a+bc=m，观察上表猜想：=_(用含有m的代数式表示).(3)证明(2)中的结论.变式7-2：张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a= n2-，b=2n ,c= . n2+（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想变式7-3：观察下列式
20、子：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；（1）找出规律，并根据此规律写出接下来第5个式子： ；（2）写出这一规律： ；（3）在RtABC中，C=90，AC=39999，BC=400，你能快速求出AB吗？变式7-4：观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，即b= ，c= 。变式7-5：观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，a，b，c根据你发现的规律，请写出（1）当a=19时，求b、c的值；（2）当a=2n+1时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由
