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1、北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次方程全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性【知识网络】【要点梳理】要点一、一元一次方程的概念1方程：含有未知数的等式叫做方程 2一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程要点诠释：（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b0(a0)的形式，它是一元一次方程的标准形式
2、（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数3方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解4解方程：求方程的解的过程叫做解方程要点二、等式的性质与去括号法则1等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式 等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式2合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变3去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同（2）括号外的因数是负数
3、，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反要点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(a0)的形式 (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解要点四、用一元一次方程解决实际问题
4、的常见类型1.等积变形：形状面积变了，周长没变；原体积变化后体积.2.利润问题：商品利润商品售价商品进价 3.行程问题：路程速度时间 4.和差倍分问题：增长量原有量增长率 5.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量6.银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金利率期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如：.8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m是关于x的
5、一元一次方程，求m和x的值 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程【答案与解析】解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m是关于x的一元一次方程，所以3m-40且5-3m0由3m-40解得，又能使5-3m0，所以m的值是将代入原方程，则原方程变为，解得所以，【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-40，而x的一次项系数5-3m0，m的值必须同时符合这两个条件举一反三：【变式】下面方程
6、变形中，错在哪里：(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以x-y，只有一种可能就是x-y为0了，所以出现了1=-1的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的. （2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.2. （2015秋营山县校级期中）对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（）A当a
7、0时，方程的解是x= B当a=0，b0时，方程有无数解C当a=0，b=0，方程无解 D以上都不正确【答案】D【解析】解：A、当a0时，方程的解是x=，故错误；B、当a=0，b0时，方程无解，故错误；C、当a=0，b=0，方程有无数解，故错误；D、以上都不正确【总结升华】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0举一反三：【变式】已知|x+1|+(y+2x)20，则_【答案】1类型二、一元一次方程的解法3解方程：解方程32x-1-3(2x-1)+35【答案与解析】解：把2x-1看做一个整体去括号，得： 3(2x-1)-9(2x-1)-95合并同类项，得-6
8、(2x-1)14 系数化为1得： ，解得 【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程本题也可以考虑换元法：设2x-1a，则原方程化为3a-(3a+3)5 举一反三：【变式】解方程【答案】解：把方程两边含有分母的项化整为零，得 移项，合并同类项得：，系数化为1得： z1类型三、特殊的一元一次方程的解法1解含字母系数的方程 4.解关于的方程：【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系【答案与解析】解：原方程可化为：当时，原方程有唯一解：；当时，原方程无数个解；当时，原方程无解；【总结升华】解含字
9、母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明2解含绝对值的方程 5. 解方程|x-2|3【答案与解析】解：当x-20时，原方程可化为x-23，得x5 当x-20时，原方程可化为-(x-2)3，得 x-1 所以x5和x-1都是方程|x-2|3的解【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|3的解为x-1和x5举一反三：【变式】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则的大小关系为： ( )A. B. C. D.【答案】A类型四、一元一次方程的应用6李伟从家
10、里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：，解得：由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：(千米/时)答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变
11、换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法7. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：门票每人60元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?【答案与解析】 解：设四座车租x辆，十一座车租辆，依题意得： 解得：x1， 答：公司租用的四座车和十一座车分别是1辆和6辆.【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”中挖掘两个等量关系
12、构建方程求解.8某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成你认为选择哪种方案获利最多，为什么?【答案与解析】解：（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元4+500元(9-4)=10
13、500（元）（2）若选择方案2方法一：解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.依题意得，解得当时，总利润=20001.5+12007.5=12000（元） 1200010500， 选择方案2较好方法二：解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.x+3(4-x)=9x=1.54-x=2.51.512000+2.531200=12000（元） 1200010500， 选择方案2较好答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方
14、程例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：每吨利润吨数工效天数酸奶12003奶片20001合计94该表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择举一反三：【变式】（2015吴江市一模）现有甲、乙两种金属的合金10kg，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份，甲种金属占3份，如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份，甲种金属占7份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？【答案】解：设原来这块合金中甲种金属的百分比是x，则甲种金属有10xkg，乙种金属有（1010x）kg，根据题意得（1010x）10=2（1010x）10，解得x=40%则（101040%）10=5（kg）答：第一次加入的甲种金属是5kg，原来这块合金中甲种金属的百分比是40%
