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1、全等三角形判定的三种类型已知一边一角型一次全等型1已知，如图ABC中，BDDC，12，求证：AD平分BAC2如图，在ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F，且BECF求证：AD是ABC的中线两次全等型3如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，DACBAC，DCABCA求证：DECBEC4如图，在ABC中，ABAC，BAC90，D为AC的中点，AEBD于F交BC于E（1）求证：ABDCAE（2）求证：ADBCDE（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系已知两边型一次全等型5如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之
2、间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得ABDE，ACDF，BFEC（1）求证：ABCDEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由两次全等型6如图所示，ABCB，ADCD，E是BD上任意一点，求证：AECE7如图：已知AE交BD于点C，DACEBCBAC，ABAC试说明：DC与BE有怎样的数量关系已知两角型一次全等型8如图，已知BDCCEB90，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OBOC三角形中的四种常见说理类型说明相等关系1如图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AEAF，求证：DEDF说明位置关系说明平行关系2已知ABC为等边三角形，点P在A
3、B上，以CP为边长作等边三角形PCE求证：AEBC说明垂直关系3如图，ABC中，ABAC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中点，求证：DGEF说明倍分关系说明角的倍分关系4如图，ABC中，ABAC，BDAC于D猜想：DBC与BAC之间的数量关系，并予以证明说明线段的倍分关系5如图，ABC中，ABAC，AD和BE是高，它们相交于H，且AEBE（1）求C的度数（2）求证：AH2BD说明和、差关系6如图，在ABC中，ABC2C，AD平分BAC，求证：AB+BDAC线段垂直平分线与角平分线的应用类型典例例1已知：如图，ABC中，AC6，BC8，AB10，BCA的平
4、分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DEAC，DFBC，垂足分别是E、F（1）求证：AEBF；（2）求线段DG的长利用线段垂直平分线的性质求线段的长1如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACD的周长是14cm，求AB和AC的长利用线段垂直平分线的性质求角的度数2如图，在RtABC中，C90，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD（1）若ADC的周长为16，AB12，求ABC的周长；（2）若AD将CAB分成两个角，且CAD：DAB2：5，求ADC的度数利用线段垂直平分线的性质解决实际问题3某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区
5、不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系4如图，已知AOB90，OM是AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D（1）证明：PCPD（2）若OP4，求OC+OD的长度利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系5如图所示，AD为ABC的角平分线，DEAC于点E，DFAB于点F，EF交AD于点M，求证：AMEF全等三角形判定的三种类型1证明：如右图所示，BDDC，34，又12，1+32+4，即ABCACB，ABC是等腰三角形，ABAC
6、，在ABD和ACD中，ABDACD（SAS），BADCAD，AD平分BAC2证明：BEAD，CFAD，BEDF90，在BED和CFD中，BEDCFD，BDCD，AD是ABC的中线3证明：在ACD和ACB中，ACDACB，（ASA）BCCD，在DCE和BCE中，DCEBCE（ASA），DECBEC4（1）证明：AEBD，AFBBAC90，ABD+BAF90，BAF+CAE90，ABDCAE（2）证明：过C作CMAC，交AE的延长线于M，则ACM90BAC，CMAB，MCEABCACB，BAFADB，ADB+FAD90，ABD+BAF90，ABDCAM，在ABD和CAM中，ABDCAM（ASA），
7、ADBM，ADCM，BDAM，D为AC中点，ADDCCM，在CDE和CME中，CDECME（SAS），MCDE，ADBCDE（3）解：结论：BDAE+DE理由：CDECME，MEDE，AMAE+MEAE+DE，BDAM，BDAE+DE5（1）证明：BFCE，BF+FCFC+CE，即BCEF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）；（2）解：结论：ABDE，ACDF理由：ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE，ABDE，ACDF6证明：在ABD与CBD中 ，ABDCBD（SSS），ABDCBD，在ABE与CBE中 ，ABECBE（SAS），AECE7解：DCBE，EBCBAC，ACDBAC
8、+ABC，ABEEBC+ABC，ACDABE，在ACD和ABE中，ACDABE（ASA），DCBE8证明：BDCCEB90，CDAB，BEAC，AO平分BAC，ODOE，在BDO和CEO中BDOCEO（ASA），OBOC三角形中的四种常见说理类型1证明：连接AD，ABAC，D是BC的中点，EADFAD，在AED和AFD中，AEDAFD（SAS），DEDF2、证明：ABC与PCE为等边三角形，ACBC，ECPC，BCAPCE60，BCPACE，在BCP和ACE中，CBPCAE（SAS），CAEB60ACB，AEBC3证明：连 ED，DF，ABAC，BC，在BED和CDF中，BDECFD（SAS）
9、，DEDF，G是EF的中点，DGEF4解：DBCBAC设C，ABAC，ABCC，BAC1802，BADABC+C2，BDAC，ABD902，DBC90，DBCBAC5（1）解：AEBE，BEAC，BAE45，又ABAC，C（180BAE）（18045）67.5；（2）证明：ABAC，ADBC，BC2BD，1+C90，BEAC，2+C90，12，在AEH和BEC中，AEHBEC（ASA），AHBC，AH2BD6证明：如图，在AC上截取AEAB，AD平分BAC，CADBAD，在ABD和AED中，ABDAED（SAS），DEBD，AEDABC，AEDC+CDE，ABC2C，CDEC，CEDE，AE+
10、CEAC，AB+BDAC线段垂直平分线与角平分线的应用类型例1（1）证明：连接AD、BD，AD是BCA的平分线，DEAC，DFBC，DEDF，DG是AB边的垂直平分线，ADDB，在RtAED和RtDFB中，RtAEDRtBFD（HL），AEBF；（2）由（1）得：CECF7，AEECAC1，ECDEDC45，DECE7，由题意可得：AGBG5，AD2AE2+DE250，DG2AD2AG225，DG51解：DE是BC的垂直平分线，CDBD，ACD的周长AC+AD+CDAC+BD+ADAC+AB，由题意得， 解得AB和AC的长分别为8.5cm，5.5cm2解：（1）DE是AB的垂直平分线，ADBD
11、，又ADC的周长为16，AD+CD+AC16，即BD+CD+ACBC+AC16，又AB12，AB+BC+AC16+1228，则ABC的周长为28；（2）ADBD，BADABD，CAD：DAB2：5，设一份为x，即CAD2x，DABABD5x，又C90，ABD+BAC90，即2x+5x+5x90，解得：x7.5，ADC为ABD的外角，ADCDAB+ABD5x+5x10x753解：如图，这所中学建在P点位置（点P为ABC的外心）连结AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等4证明：（1）如图，过点P作PEOA于点E，PFOB于点F，PECPFD90OM是AOB的平分线，PEPF，AOB90，CPD90，PCE+PDO3609090180而PDO+PDF180，PCEPDF在PCE和PDF中 PCEPDF（AAS）PCPD；（2）AOB90，OM平分AOB， POE与POF为等腰直角三角形，OEPEPFOF，OP4， OE2，由（1）知PCEPDF CEDF OC+ODOE+OF2OE45证明：DEAC于点E，DFAB于点F，AEDAFD90，AD为三角形ABC的角平分线，EADFAD，而ADAD，AEDAFDEDDF，AEAFAEF为等腰三角形，AM为BAC的平分线AM是AEF的高，即AMEF
