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1、北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式与不等式组全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“”(或“”)，“”（或“”），连接的式
2、子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个
3、负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式要点诠释：ax+b0或ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的
4、未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的
5、解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用： 根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）方程（组）、不等式问题函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程0（0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐
6、标.求关于的一元一次不等式0（0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线0）上方部分的所有点的横坐标的范围.【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系： （1）a与5的和是正数. （2）b与-5的差不是正数.（3）x的2倍大于x. （4）2x与1的和小于零.（5）a的2倍与4的差不少于5.【答案与解析】解：（1）a+50；（2）b-（-5）0； （3）2xx； （4）2x+10；（5）2a-45. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于 .举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列
7、关系：（1）y的与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9.【答案】（1）； （2）；（3）.2.用适当的符号填空：（1）如果ab，那么a-3_b-3； 7a_7b；-2a_-2b.（2）如果ab，那么a-b_0；a+5b_6b；.【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3【答案】（1）； ； （2）；【解析】（1）在不等式ab两边同减去3，得a-3b-3；在不等式ab两边同乘以7，得7a7b；在不等式ab两边同乘以2，得-2a-2b（2）在不等式ab两边同减去b，合并得a-b0；在ab两边同加上5b，合并得a+5b6b；在a；（2）【变式2】判断（1）如果，那么；（2）
8、如果，那么.【答案】（1）；（2）类型二、一元一次不等式 3.（2015巴中）解不等式：1，并把解集表示在数轴上【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可【答案与解析】解：去分母得，4（2x1）3（3x+2）12，去括号得，8x49x+612，移项得，8x9x612+4，合并同类项得，x2，把x的系数化为1得，x2在数轴上表示为：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键举一反三：【变式】解不等式，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：去分母得5x-1-3x3， 移项、合并同类项，得2x4， 系数化为1，得x2，解集在数轴
9、上的表示如图所示4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润售价进价，售价进价利润进价（1利润率）.【答案与解析】解：设商店降价元出售该商品，则，解得60. 答：商店最多降价60元出售商品。【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解答过程中应注意“设”与“答”的区别类型三、一元一次不等式组5.（2016东丽区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据
10、“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来【答案与解析】解：解不等式，得：x3，解不等式，得：x2，不等式组的解集为：3x2，在数轴上表示不等式组的解集为：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键举一反三：【变式1】求不等式组的整数解【答案】解：解不等式-3(x-2)4-x，得x1，解不等式，得x-2，所以该不等式组的解集为：-2x1，所以该不等式组的整数解是-1，0，1【变式2】（2015南昌）不等式组的解集是 【答案】3x2.解：，由
11、得：x2，由得：x3，则不等式组的解集为3x2类型四、一次函数与一元一次方程（组）、不等式6、如图，平面直角坐标系中画出了函数的图象（1）根据图象，求和的值（2）在图中画出函数的图象（3）求的取值范围，使函数的函数值大于函数的函数值【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数的函数值大于函数的函数值，需的图象在图象的上方.【答案与解析】解：（1）直线经过点（2，0），（0，2） 解得 （2）经过（0，2），（1，0），图象如图所示（3）当的函数值大于的函数值时，也就是，解得0，即的取值范围为0【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.类型五、综合应用7.若关于x,y的方程组的
12、解满足，求k的整数值.【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.【答案与解析】解：解方程组，解得：整数k的值为0，1，2.【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.举一反三：【变式】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？【答案】解：由，得，解得当时，关于x的方程： 的解大于1.8.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆
13、，且余45个空座位（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆根据不等关系：两种车坐的总人数不小于175人；租车资金不超过1500元列不等式组分析求解【答案与解析】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：,解得：.（人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人 （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ，解这个不等式组，得取正整数，= 2. 4 = 42 = 2（辆）.32024002 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系
