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1、北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角的平分线的性质（提高）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F
2、，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角
3、的平分线的性质及判定1、如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP（1）求证：PA平分BAC的外角CAM；（2）过点C作CEAP，E是垂足，并延长CE交BM于点D求证：CE=ED【思路点拨】（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA求出AEDAEC即可【答案与解析】证明：（1）过P作PTBC于T，PSAC于S，PQBA于Q，如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，AP平分DAC，即PA平分BAC的外角CAM；（
4、2）PA平分BAC的外角CAM，DAE=CAE，CEAP，AED=AEC=90，在AED和AEC中AEDAEC，CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和AEDAEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等举一反三：【变式】如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.【答案】证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE与RtCDF中， RtBDERtCDF（HL） BECF2、如图，AD是ABC的角平分
5、线，DFAB，垂足为F，DEDG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5【答案】 B；【解析】解： 过D点作DHAC于H， AD是ABC的角平分线，DFAB，DHACDFDH在RtEDF和RtGDH中DEDG，DFDHRtEDFRtGDH同理可证RtADF和RtADH503911，EDF的面积为5.5 【总结升华】本题求EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知ADG和AED的面积来表示EDF面积.3、（2016湖州）如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离
6、是（）A8B6C4D2【思路点拨】过点P作PEBC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.【答案与解析】解：过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P为ABC的外角平分线上任一点.求证：PBPCABAC.【思路点拨】在BA的延长线上取ADAC，证PADPAC，从而将四条线段转化到同一个PBD中，
7、利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使ADAC，连接PD.P为ABC的外角平分线上一点，12 在PAD和PAC中PADPAC（SAS），PDPC在PBD中，PBPDBD，BDABADPBPCABAC.当点P与点A重合时，PBPCABAC.综上，PBPCABAC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】如图，四边形ABDC中，D=ABD=90，点O为BD的中点，且OA平分BAC（1）求证：OC平分ACD；（2）求证：OAOC；（3）求证：AB+CD=AC【答案】证明：（1）过点O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，点O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=180=90，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理可得CD=CE，AC=AE+CE，AB+CD=AC
