找规律及定义新运算题库学生版.doc

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1、找规律及定义新运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求找规律学会基本的找规律方法能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系能做综合试题定义新运算熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 点、 、 、 （为正整数）都在数轴上点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；，依照上述规律，点、所表示的数分别为（ ）A、 B、 C、 D、 【例2】 如图，点、对应的数是、，点在、对应的两点（包括这两点）之间移动，点在、对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比大的是（ ）A B C D【例3】 一组按规律排列的式子：，

2、()，其中第个式子 是 ，第个式子是 (为正整数)【例4】 搭建如图的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图、图的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管. 【例5】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母。请你按图中箭头所指方向(即的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (用含n的代数式表示)。DCBA【例6】 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1在图2中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则

3、完成一次变换若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）图1图2向右翻滚90逆时针旋转90A6 B5 C3 D2【例7】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算（n是正整数）的结果为（ ）1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?A B C D【例8】 观察下列由棱长为的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图中：共有 个小立方体，其中个看得见，个看不见；如图中：共有个小立方体，其中个看得见，个看不见；如图中：共有个小立方体，其中有个看得见，个看不见；，则第个图中，看不见的小立方体有 个【例9】 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形

4、状来研究数，例如： 他们研究过图1中的，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A15 B25 C55 D1225【例10】 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第个图案需要 枚棋子【例11】 下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3

5、位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）A495 B497 C501 D503【例12】 观察右表，依据表格数据排列的规律，数在表格中出现的次数共有 次 1234246836912481216 【例13】 个数之和为，把第个数减去，第个数加上，第个数减去，第个数加，则所得新数之和为 【例14】 减去它的，再减去剩余数的，再减去剩余数的，依次类推，一直到减去剩余数，那么最后剩余的数是 【例15】 观察按下列规则排成的一列数：，在式子中，从左起第个数记为，当时，求的值和这个数的积.【例1

6、6】 观察下面的变形规律：解答下面的问题：若为正整数，请你猜想 ；证明你猜想的结论；求和：.【例17】 观察下面的等式，；，；，；，；小明归纳上面各式得到一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？如果不正确，请你观察上面各式结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【例18】 阅读下列材料：，由以上三个等式相加，可得。读完以上材料，请你计算下列各题： （写出过程）；_；_。【巩固】 已知：观察上面的计算过程，寻找规律并计算 【例19】 现有一列数，其中，且满足任意相邻三个数的和为常数，则的值为( )A B C D【巩固】 如果一个序列满足，(为自然数)，求的值.

7、【例20】 右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前横行的数字和为 【巩固】 观察下列等式：，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算的值【例21】 在数轴上，点和点都在与对应的点上，若点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，则秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？【例22】 如图所示，数轴被折成，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上数字， ，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数

8、字 重合【例23】 把一数轴折成如图所示，第段为个单位长度，第段为个单位长度，第段为个单位长度，有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为个单位长度，圆所示位置为数轴原点，现开始紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动， 当圆与接触时，指针指向 （东、南、西、北）【例24】 把一数轴折成如图所示，第段为个单位长度，第段为个单位长度，第段为个单位长度，点处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与接触时，指针指向 （东、南、西、北）【例25】 如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，先让圆周上

9、数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合【例26】 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字、）上：先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上、所对应的点分别与圆周上、所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系 圆周上的数字与数轴上的数对应，则 ； 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈（为正整数）后，并落在圆周上数字所对应的位置，这个整数是 （用含的代数式表示）【例27】 如图所示，一数轴被折围成长为，宽

10、为的长方形，圆的周长为且圆上刻一指针，若在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与接触的时候，指针的方向是（ ）【例28】 如图，用数轴绕圆三圈，圆周上的点与数轴上表示、的点重合，数轴上与点重合的点所对应的数最接近是（ ）A B C D 【例29】 研究下面的一列数：，照此规律，请你用表达式表示出第个数.【例30】 右图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，若从点到点的回形线为第圈(长为)，从点到点的回形线为第圈，依此类推则第圈的长为 【例31】 如果(，2，3，2009)，那么，当时， 的值是多少？【例32】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成段，要把一根拉直的绳子

11、分成段，需刀，这就是说线段上个点将线段分成段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成段，试问：（1）将一根绳子对折次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（2）将一根绳子对折次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由【例33】 有依次排列的个数：，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：，继续依次操作下去，问：从数串，开始操作第一百次以后所产生的那个新

12、数串的所有数之和是多少？【例34】 在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：，然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值连续这样做到第个正方形，则图上写出的所有数的和是 【例35】 有、三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：一个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的种数是为种二个舞蹈演员、跳舞，面对观众作队形变化的种数是、为种即种三个舞蹈演员、跳舞，面对观众作队形变化的种数是 、 、 、为种即种请你猜测： 四个舞蹈演员、跳舞，面对观众作队形变化的种

13、数是 种 六个舞蹈演员、跳舞，面对观众作队形变化的种数是 种（用科学记数法表示） 用、共个数字排列成位数的电话号码（在同一个电话号码内每个数字只能用一次）可能排成 个电话号码模块二、几何图形中的规律【例36】 观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是一样的），请写出第个图中最小的三角形的个数有 个第1个图第2个图第3个图第4个图【例37】 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）A B C D【例38】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为

14、第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满 组，此时还剩余 块瓷砖【例39】 一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点跳过的总距离为 【例40】 如右图，过上到点的距离分别为，的点作 的垂线与相交得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，观察图中的规律，求出第个黑色梯形的面积 0135791113S1S2S3S4【例41】 如图是一组有规律的图案，第个图

15、案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，第（是正整数）个图案中由 个基础图形组成(1)(2)(3)【例42】 用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭个图形需要根火柴，搭个图形需要根火柴， 搭个需要 根火柴棍 搭个三角形需要 根火柴棍【例43】 假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图： 那么请问第个棋子是黑的还是白的？ 答： 【例44】 探索图形规律，在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的图案设计如上图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与上图拼接后符合图案的设计模式（ ） 【例45】 观察下列图形：

16、根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 【例46】 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，第一层第二层第三层从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：第一层：侧面个数上面个数；第二层：侧面个数上面个数；第三层：侧面个数上面个数；第四层：侧面个数上面个数；根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： 求第层有多少个面被涂成了红色？ 求第层有多少个面被涂成了红色？（用含的式子表示） 若第层有个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由【例47】 电子跳蚤游戏盘是如图所示的，如果跳蚤开始时在边的处，跳蚤第一步从跳到边的（第1次落点）处，且；第二步从跳到

17、边的（第2次落点）处，且；第三步从跳到边的（第3次落点）处，且；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第次落点为（n为正整数），则点与点之间的距离为_【例48】 图1是棱长为的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、第层，第层的小正方体的个数为解答下列问题：图1 图2 图3 按照要求填表： 写出当时， 【例49】 如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； 填表：剪的次数 正方形个数 如果剪了次，共剪出多少个正方形？

18、如果剪次，共剪出多少个正方形？ 观察图形，你还能得出什么规律？【例50】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有层，试问第层有多少个点？这个点阵共有多少个点？【例51】 图1是一个方阵图，每行的个数，每列的个数，斜对角的个数相加的和均相等如果将方阵图中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的个数，每列的个数，斜对角的个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图根据图2、图3、图4中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图2、3、4的方阵图吗？图1图2图3图4【例52】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的

19、一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话 现有、共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等每一列的三个数的和为多少？给出一种填法 通过研究问题，利用你发现的规律，将、，这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等图1 图2【例53】 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差例如：1543215492324=915432154-323-2-4=-3 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明

20、理由-200720061003010 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由20062066266020 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由1543219753版块二、定义新运算【例54】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码和的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数换算成十进制数应为：按此方式，则将十进制数换算成二进制数应为 【例55】 计算机在进行数学运算时采用的是二进制，二进制的所有数都用字符和的组合表示，二进制数与十进制数的对应关系如下表十进制二进制二进制数的加法逢二进一，如：， 观察上表，十进制的怎么表示？ 二进制的两个数相加： 若十进制

21、数与二进制数的和为二进制数，即，求二进制数【例56】 读一读：式子“”表示1开始的100个连续自然数的和由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为；又如可表示为通过对以上材料的阅读，请解答下列问题(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为 计算 (填写最后的计算结果)【例57】 定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数如：的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，则 【例58】 我们常用的数是十进制数，如，数要用个数码（又叫数字）：、，在电子计算机

22、中用的二进制，只要两个数码：和，如二进制中等于十进制的数， 等于十进制的数那么二进制中的数等于十进制中的哪个数？【例59】 （4级）(第20届希望杯培训试题)若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是“”现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于的补码，即变成；变成；变成；则“希望杯”这三个字的新密码是 【例60】 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文(真实文)，对明文进行某种处理后得到的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个字母(不论大小写)依次对应，这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：当时，若不能被整除，则；若能

23、被整除，则 将明文字母对应的数字按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，则有 ，所以明文字母对应的密文字母为. 按照上述规定，将明文译成的密文是什么？写出你的计算过程； 按照上述规定，请你写出由密文字母得到明文字母的公式； 按照中得到的公式，密文所代表的明文单词是什么？(直接写出结果)【例61】 在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为，已知:整数， 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_【例62】 有一个运算程序，

24、可以使：(为常数)时，得(),现在已知，那么 【例63】 我国古代先贤用一种绝妙而形象的二进制计数符号来表示万事万物，即用“”表示“1”，用“- -”表示“0”；亦用“”表示“1”，即二进 进的“”；用“”表示“6”，即二进帛的“110”那么“”，“”，“”，“”，“”和“”依次表示 【例64】 对于数，符号表示不超过的最大整数若关于的方程有正整数解，则的取值范围为 【例65】 对于数，符号表示不大于的最大整数例如，则满足关系式的的整数值有( )A6个 B5个 C4个 D3个【例66】 新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类。（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？（用来说明）