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1、基于分形市场的认股权证定价分析叶永刚 韩志广 刘谦（武汉大学经济与管理学院，湖北 武汉430072）摘要：传统的Black-Scholes期权定价模型没能考虑权证执行的“稀释效应”以及“红利分配”问题，修正的模型虽然解决了这两个问题，但仍然建立在市场有效性的假设基础之上，而分形市场中的分数布朗运动定价模型合理的解决了这些问题。本文以武钢认股权证(WISCO)为例，对认股权证的定价进行实证探索，并对权证的理论价格与实际价格以及标的证券武钢股价的走势进行对比研究，指出了认股权证市场价格的不合理性和存在的获利机会。关键词：认股权证 ；Black-Scholes模型；权证定价；分形市场 作者简介：叶永
2、刚，武汉大学经济与管理学院金融系教授、博士生导师，研究方向：衍生工具与风险管理。韩志广、刘谦，武汉大学经济与管理学院硕士生。Warrant Pricing Based on Fractal MarketAbstract: Traditional Black-Scholes option pricing model did not consider the dilution effect and dividend distribution in the implementation of warrants, although the modified model managed to resol
3、ve these two issues, it is still based on the efficient market hypothesis. Fractal market and the fractional Brownian motion pricing model reasonably resolve these problems. In this paper ,we take the example of warrants from WISCO, make empirical exploration on warrants pricing, analyze the theoret
4、ical price and actual price of warrants, and compare them with the share prices of targeted security-WGGF, as a conclusion, we point out that the present market price of warrants are unreasonable, there exists potential for profits.Key words: Warrants; Black-Scholes model; warrants pricing; Fraction
5、al Brownian motion导 论认股权证的设计和投资中，它的正确定价是一个核心问题，而作为投资者，清醒认识认股权证投资中蕴含的风险是至关重要的。在1973年Black-Scholes期权定价公式提出后，认股权证的定价研究进入了一个鼎盛时期。Galai，Schneller(1978)在有效资本市场的假定下，通过单期和多期的分析框架，提出了考虑流通股稀释效应的认股权证定价模型，并考察了权证发行对公司价值的影响。国内学者大多采用这一模型对认股权证的定价进行实证分析。周延（1998）通过对B-S模型的分析，推导出了考虑股本稀释效应的认股权证定价公式。傅世昌（2004）在股本稀释的B-S模型基
6、础上，提出了任何时刻可执行且执行价格为时间函数的认股权证定价模型。Black-Scholes模型建立在有效市场假设（EMH）之上，但是，对股票市场的大量实证研究都表明股票市场价格并不符合正态分布，存在“尖峰肥尾”的特征，而且股价存在长期相关性，并不是随机游走的。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并应用R/S 分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。国内部分学者针对分形市场也作了实证研究。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S 分析；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，从而论证了市场存在非
7、线性结构；刘韶跃和杨向群(2002、2004)对分数布朗运动环境下标的资产有红利支付的欧式期权定价进行了探讨；周孝华(2002)通过分析布朗运动与分形布朗运动，提出了分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利的股票价格遵循含有分形维纳过程的微分方程。唐斌、李虹蓉（2006）将分数布朗运动定价模型应用于权证分析，利用一些可观察的数据来对公司权益价值及波动率这两个不可观察的变量进行估计，证明其结果比以往的模型更为合理。本文首先对几种权证定价模型进行了阐述，着重对分形市场中的分数布朗运动定价模型进行分析，然后利用模型对每个交易日的武钢蝶式权证进行定价分析，得出中国权证市场上存在的一些特征。认股权证的定
8、价模型一、考虑稀释效应与红利分配的Black-Scholes模型由于认股权证本质上就是一种期权，所以很多学者直接利用Black-Scholes期权定价公式： （1），计算权证的价格。Hull(2003)在传统的Black-Scholes期权公式基础之上，针对认股权证执行后产生的“稀释效应”对公式进行了调整。考虑一个有股流通股股票的公司，现在发行数量是份的欧式认股权证，行权价格为，行权比例为，到期期限是，股票在整个期限内不支付红利。假设认股权证的价格是。如果在T时刻认股权证的持有者执行了认股权证，该公司获得了数额为的现金流入，公司股权价值增长到,而总股本变成,因此认股权证执行后的瞬间股票价格变成
9、：因此每份认股权证的损益函数为：相比于传统的Black-Scholes期权定价公式，可以看出考虑“稀释效应”认股权证的价值就是份基于的欧式股票看涨期权的价值。由此得到不支付红利的欧式认股权证价格的定价模型： （2）为无风险利率，表示股票价格的波动率，为标准正态分布的累计分布函数。对于支付红利的情况，只是将股价S减去每期红利的现值，以表示距每比红利发放的时间跨度，表示每期支付的红利。此时（2）式转化为： （3）其中：Hull(2003)的权证定价模型虽然考虑了“稀释效应”，但运用这一模型时，为了定价的方便，一般用股票的价格及其波动率来近似替代公司的权益价值V及波动率s，这两个变量是不可观察的。因
10、此这样得出的权证价格已经背离了原模型。二、分形市场中分数布朗运动的定价模型假定金融资产的价格变动服从分数布朗运动，而不是标准的几何布朗运动。Hurst参数为H的分数布朗运动是一个连续的Gaussian过程：，且有：。当1H0.5时,具有长期依赖性，存在“记忆效应”，过去与现在呈现正相关关系，H值越接近于1，过去的序列走势对将来的影响越大。参数H可由Hurst(1951)提出的重标极差分析法获得(Rescaled Range Analysis，R/S)。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天。叶中行、曹奕剑（1998）对几
11、只个股的Hurst指数做了计算，其中武钢股份为0.5584。Ciprian Necula利用傅立叶变换方法推导出分数布朗运动下的Black-Scholes模型，其公式如下： （4）其中：相比于传统的B-S公式，主要是通过Hurst指数对期权的持续期做了相应的调整。从公式易看出，若H0.5，即为标准布朗运动。由于不同Hurst指数对应的权证价格也不同，因此，为了正确地定价权证，必须在分形市场中考虑标的股票的分形结构。结合Ukhov, Andrey D.(2004)可观察数据的权证定价模型和分形市场中的分数布朗运动，唐斌、李虹蓉（2006）提出了一个改进的权证定价模型。是公司的权益价值，N仍是流通
12、总股本。用来取代,则认购权证的价格即为份基于的看涨期权的价格。再结合公式（4），得出分数布朗运动下的权证定价模型为： （5）其中：由于公司权益价值与股票、权证之间存在着如下关系：，可知公司权益价值的波动率是权证和股价波动率的加权平均。因此，公司权益价值的波动率与股价的波动率之间存在着以下关系(Ukhov, Andrey D.，2004)：其中，DS表示当公司权益价值变化一个单位时，股票价格的变化量。公司权益价值、权证与股票价格有关系：，所以结合（5）式，可得到：由以上两式得：。因此，公司权益价值V与权益价值的波动率，可从如下方程组中解出： （6）其中：从而得到t时刻的认购权证价格为：。对于支付
13、红利的情况只需在方程组（6）的基础上将每股权益价值减去每期红利的现值即可。武钢权证定价的实证分析一、武钢蝶式认股权证简介表1 武钢认股权证的基本信息证券代码武钢JTB1武钢JTP1权证类型认购权证认沽权证原行权价2.93.13新行权价（分红后）2.622.83发行数量47400万份行权方式欧式行权比例1结算方式证券给付(实物)存续期间05-11-23至06-11-22行权期间06-11-16至06-11-22武钢认股权证是由认购权证和武钢认沽权证组合而成的蝶式权证，认股权证其实是一种期权，武钢的认股权证的其实两种期权的宽跨式组合。组合的损益图类似一个“聚宝盆”。武钢认购权证和认沽权证都是欧式期
14、权（表1），我们将采用以上定价模型对武钢认股权证进行定价分析。武钢股份的Hurst指数采用叶中行、曹奕剑（1998）9所做的计算为0.5584。无风险利率(r)为2.25%。股票价格的年波动率采用武钢股份2005年至2006年的交易数据计算。根据法则由武钢股价日波动率求得年波动率:其中：为武钢股份每日收盘值；n为交易天数；=240（一年交易日的天数），为日波动率。二、模型定价的结果分析利用MATLAB编程，求得三种认购权证定价公式（1）、（3）、（6）及相应的认沽权证的定价公式的数值解，即为武钢蝶式认股权证在每一个交易日的理论价格。图1认购权证实际价格与理论价格对比 图2认沽权证实际价格与理论
15、价格对比图3武钢股价与认购权证价格的对比 图4武钢股价与认沽权证价格的对比我们用Ci（i=0、1、2、3）表示认购权证的价格，Pi（i=0、1、2、3）表示认沽权证的价格。分别表示为认股权证的实际价格、Black-Scholes模型求得的理论价格、修正的Black-Scholes模型求得的理论价格以及基于分形市场的分数布朗运动定价模型下的理论价格。对比标的资产的价格、权证实际价格以及理论价格，会发现权证市场几个特征：待添加的隐藏文字内容31武钢认股权证的价值被严重高估，随到期日临近而逼近理论价值（图1、2）2005年11月23日，武钢认股权证的开盘价格就已经远远高于其理论价值，出现了明显的价值
16、高估。这反映了市场中投机现象非常严重；同时也反映了权证交易中蕴含了巨大的风险。因为期权的价值包括内在价值与时间价值，在内在价值一定的前提下，出现较大高沽的原因就主要表现在人们放大了认购权证的时间价值，因此随着行权日的临近必然会出现价值回归。此时，在缺乏“做空机制”的权证市场，高位进入的投资者无疑将面临极大的风险。2相比于武钢股份股票价格的走势认沽权证的价格背离其真实价值走势（图3、4）认沽权证作为一种看跌期权，其价值应当与标的证券的价格走势相反，因为股价越高，行权的获利就越小，但是武钢认沽权证的实际价格却没能反映这种关系，出现“价格逆反现象”。认购权证与标的证券的价格走势基本是一致的。3认购权
17、证实际价格在面临标的证券价格的较大变化时出现反应过度问题具体来说是在2006年分红前的一个月内，面对武钢股份（600005）股价的快速上扬，C0抬升的比例比C3更大，直到到期日的前几个交易日才因为价值回归，使得实际价格与理论价格吻合起来。这也是投资者非理性的一种表现。4在低“稀释效应”和“红利分配”的条件下，可以近似地用股票波动率来替代公司权益价值的波动率，也可以不考虑红利的分配问题。这主要体现在三种定价模型的差异性不是很大，其中使用修正的Black-Scholes模型的价格要低于传统的模型。我们还可以发现用这种方法求得的结果表现出较大的波动性。和股票期权一样，认股权证是一种以小博大的金融工具
18、，对投资者很有吸引力。根据上面的分析，价格高估、反应过度、价格逆反现象等的存在已经证明中国认股权证市场是无效的，投资者完全可以在市场上进行投机获利。但是投资者还要学会如何控制认股权证的价格风险。“做空机制”的不完善，容易造成暴涨暴跌的局面。所以，投资者一定要警惕权证市场上的巨大风险。结论利用传统的B-S模型、修正的B-S模型以及分数布朗运动的定价模型对武钢蝶式认股权证的定价后，结合标的证券（武钢股份）价格、权证理论价格与实际价格的在走势，进行对比分析，得到以下结论。第一，在对认股权证进行定价时，要综合考虑“稀释效应”和“红利分配”以及市场的有效性问题。根据发行权证的具体情况采用适当的模型来对它
19、进行估算，否则会使投资决策中的定价分析产生较大误差。第二，我国权证市场的效率是比较低下的，实际价格与理论价格存在一个高估差额，甚至长期出现认购权证与认沽权证同涨同跌的怪异现象，充分反映了中国投资者的非理性。这与长期以来人们只注重投机不注重“投资”有很大的关系。第三，应及时引进权证市场的做空机制。高估价差的存在，主要原因是中国资本市场做空机制缺乏。做空机制在成熟的资本市场上，往往被认为是市场良性健康的保证。即将推出的股指期货无疑是发展中国资本市场做空机制的重要举措。第四，要加大对认股权证相关产品知识面推广，着重对定价与风险因素进行说明，并加快推进认股权证的多样化方案。认股权证作为一种金融衍生品，
20、对于大部分中小投资者而言比较陌生。在武钢权证的行权日过后，居然出现了权证持有者忘记行权的情况，导致权证变的一文不值，蒙受重大损失。参考文献：1 Lauterbach B. and P.Schultz (1990) Pricing warrants: An empirical study of the Black-Scholes model and its alternatives J. Journal of Finance, (45):1181-1209.2 Longstaff E. (1990) Pricing options with extendible maturities: Anal
21、ysis and applications J.Journal of Finance. (45):935-957.3 Lauterbach, Beni and Paul Schultz, (1990) Pricing Warrants: An Empirical Study of the Black-Scholes Model and Its Alternatives, Journal of Finance, Vol. 65, 4/9: 118112094 Ukhov, Andrey D.(2004) Warrant Pricing Using Observable Variables. Th
22、e Journal of Financial Research, 27 (3), 329-339.5 傅世昌.变执行价格认股权证定价研究J.云南财贸学院学报, 2004.(5).6 刘韶跃,杨向群.分数布朗运动环境中标的资产有红利支付的欧式期权定价J.经济数学，2002，19,(4)7 孙浩中.认股权证投资风险分析：以宝钢权证为例J.南方金融,2006,(1).8 唐斌,李虹蓉.分形市场中的股本认股权证定价研究,工作论文,2006.9 叶中行,曹奕剑. Hurst 指数在股票市场有效性分析中的应用J.上海交通大学学报，1998.32,(3).10 张维,黄兴.沪深股市的R/S实证分析J.系统工
23、程，2001，Vol.19，No.1，pp1-5. 49.Editors note: Judson Jones is a meteorologist, journalist and photographer. He has freelanced with CNN for four years, covering severe weather from tornadoes to typhoons. Follow him on Twitter: jnjonesjr (CNN) - I will always wonder what it was like to huddle around a sh
24、ortwave radio and through the crackling static from space hear the faint beeps of the worlds first satellite - Sputnik. I also missed watching Neil Armstrong step foot on the moon and the first space shuttle take off for the stars. Those events were way before my time.As a kid, I was fascinated with
25、 what goes on in the sky, and when NASA pulled the plug on the shuttle program I was heartbroken. Yet the privatized space race has renewed my childhood dreams to reach for the stars.As a meteorologist, Ive still seen many important weather and space events, but right now, if you were sitting next t
26、o me, youd hear my foot tapping rapidly under my desk. Im anxious for the next one: a space capsule hanging from a crane in the New Mexico desert.Its like the set for a George Lucas movie floating to the edge of space.You and I will have the chance to watch a man take a leap into an unimaginable fre
27、e fall from the edge of space - live.The (lack of) air up there Watch man jump from 96,000 feet Tuesday, I sat at work glued to the live stream of the Red Bull Stratos Mission. I watched the balloons positioned at different altitudes in the sky to test the winds, knowing that if they would just line
28、 up in a vertical straight line we would be go for launch.I feel this mission was created for me because I am also a journalist and a photographer, but above all I live for taking a leap of faith - the feeling of pushing the envelope into uncharted territory.The guy who is going to do this, Felix Ba
29、umgartner, must have that same feeling, at a level I will never reach. However, it did not stop me from feeling his pain when a gust of swirling wind kicked up and twisted the partially filled balloon that would take him to the upper end of our atmosphere. As soon as the 40-acre balloon, with skin n
30、o thicker than a dry cleaning bag, scraped the ground I knew it was over.How claustrophobia almost grounded supersonic skydiverWith each twist, you could see the wrinkles of disappointment on the face of the current record holder and capcom (capsule communications), Col. Joe Kittinger. He hung his h
31、ead low in mission control as he told Baumgartner the disappointing news: Mission aborted.The supersonic descent could happen as early as Sunday.The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation
32、 or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising a
33、ltitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause), he can expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet (22.7 miles/36.53 kilometers). Here, Fearless Felix wi
34、ll unclip. He will roll back the door.Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform.Below, the Earth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance,
35、 it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into the shallow end.Skydiver preps for the big jumpWhen he jumps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slo
36、w as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop him completely.If he goes too fast or spins out of control, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foo
37、t (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters).In order to deploy this chute successfully, he will have to slow to 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds.Even if everything goes as p
38、lanned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to pass out, and no parachute is guaranteed to work higher than 25,000 feet (7,620 meters).It might not be the moon, but Kittinger free fell from 102,800 feet in 1960 - at the dawn of an infamous space race that captured the hearts of many. Baumgartner will attempt to break that record, a feat that boggles the mind. This is one of those monumental moments I will always remember, because there is no way Id miss this.
