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1、初中三角函数11 正弦和余弦例1 已知090（1）求证：sin2+cos2=1；（2）求证：sin+cos1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sin+cos=1，求sin3+cos3的值证明 （1）如图6-1，当090时，sin=BC/AB，cos=AC/AB，所以在这种情形下当=0时，sin=0，cos=1；当=90，sin=1，cos=0所以在这两种情形下仍有sin2+cos2=1（2）如图6-1，当090时，sin=BC/AB，cos=AC/AB所以在这种情形下当=0时，sin+cos=0+1=1；当=90时，sin+cos=1+0=1所以当090时，总有sin+cos1，当并且只当
2、=0或=90时，等号成立（3）由于已知sina+cos=1由（2）可知=0或=90，所以总有sin3+cos3=1例2 求证：对于090，证法一 如图6-1，设BC=a，AC=b，AB=c由锐角三角函数当=0或=90时，容易验证以上等式仍成立证法二点评 证法一是根据锐角三角函数的定义；证法二用了公式sin2+cos2=1证明一个三角恒等式成立，可变换等号左（右）端的式子，如得到等号右（左）端的式子，原恒等式就被证明了一般对较复杂的式子进行变换，也可以对等号左、右的式子都进行变换，如得到相同的式子，原恒等式就被证明了12 正切和余切 证明 （1）当090时，如图6-2，当=0时，tg=0，sin
3、=0，cos=1所以仍有tg=（2）必须满足不等式：090如图6-2，所以tgctg=1例2 已知锐角，且tg是方程x2-2x-3=0的一个根，求解法一 x2-2x-3=0的两根为3和-1这里只能是tg=3如图6-3，由于tg=3因此可设BC=3，AC=1，从而解法二 tg=3，用cos2除原式分子、分母，得证法一 如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则所以原式成立证法二 等式的左端点评 这里0，90怎样理解锐角三角函数的概念？答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值关于这点，我们看图1
4、，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上不难看出，B1C1B2C2B3C3，AB1C1AB2C2AB3C3，因此，在这些直角三角形中，A的对边与斜边的比值是一个固定的值根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，A的对边与邻边的比值，A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值这样在ABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA；锐角A
5、的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时四个比值对应变化这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形
6、中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边例 求出图2中sinD，tgE的值 (3)“sinA”等是一个完整的符号整的符号，不能看成sin与A的乘积离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样所以写时不能把“sin”与“A”分开锐角三角函数定义把形与数结合起来，从事物的相互联系去观察，对直角三角形不是孤立地看它的角，它的边，而是抓住了它们之间的联系，从而为深入研究问题打开了思路，奠定了基础从定义的导出过程不难看出，锐角三角函数是数(比值)和形(角A)完美结合的结果，同学们应该在学习中很好地体会和掌握这种研究问题的思想方法计算解答题3. 在RtABC中,C=90,若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.4. q为三角形的一个角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq. 答案3. 解：sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根则5sin2A-14sinA+8=04. 解：100cos2q-40(4-3cosq)=0即5cos2q+6cosq-8=0
