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1、北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（提高）【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题
2、的目的（3）理解勾股定理的一些变式：， 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明1、在ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE AB=AC，AEBC
3、BE=EC,AEB=AEC=90 【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案与解析】解：连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45，C=45，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA
4、），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长举一反三：【变式】（2015春天津校级期中）如图，C=30，PAOA于A，PBOB于B，PA=2，PB=11，求OP的长【答案】解：PAOA，C=30，PC=2PA=4，BC=BP+PC=11+4=15，PBOB，C=30，设OB=x，则OC=2x，在RtBOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，OP=14类型三、与勾股定理有关的面
5、积计算3、（2015丰台区二模）问题背景：在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，求这个三角形的面积小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需要求出ABC的高，借用网格就能计算出它的面积（1）请你直接写出ABC的面积 ；思维拓展：（2）如果MNP三边的长分别为，2，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点MNP，并直接写出MNP的面积【思路点拨】（1）根据图形得出SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合
6、的三角形，再根据图形和面积公式求出即可【答案与解析】解：（1）ABC的面积是4.5，理由是：SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC=43412133=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的MNP，SMNP=S矩形MOABSMONSPANSMBP=53512431=7，即MNP的面积是7【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A17B36C77D94【
7、答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2016贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的长，进而得出答案【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是15
