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1、平面向量基本定理常用题型归纳何树衡 刘建一平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数使得=平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见直接利用唯一性求解例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，若，求实数x,y的值解：即x为3，y为3.构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量，其中夹角为120，的夹角为30，若,则= ，= .解：过C作CDOB交OA的延长线于D，在RtO
2、DC中，D30OCBA即=4，=2二、共线问题常考常新感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。BPAD常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底OA,OB的分析式为反之，若则A，P，B三点共线（特别地令t=,称为向量中点公式）CBPAN例3：在ABC中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 解：，B,P,N三点共线， 又，m=感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4：在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E，求证：BE=BA证明：如图，设E是线段BA上的一点，且BE=BA，只需证E，E重合即可设，=CBDAE
3、OO,E,D三点共线E,E重合，BE=BA三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分()，得出结论表(1)，表(2)AOB表(1)充要条件动点C所在区域(不含边界)x,y满足条件x0，y0且x+y0，y0且x+y1x0，y1x0，y0且x+y1或x1X0,0y10x1,y0X0,y0,y0C在线段AB的延长线上x0C在线段BA的延长线上x0,y1C在线
4、段AO的延长线上x1C在线段BO的延长线上上y0,b0Ba0,b0Ca0Da0,b0答案：B例6：如图OMAB，点P在射线OM，射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是 ，当x=时，y的取值范围是 .BAMTPSBAOM答案：x0O解：设OSAB，过S作OB平行线交AB延长线于T，则的终点P只能在线段ST上（不包括端点）由区域V性质得x0,0y1,当，此时y=,当T在AB的延长线上时，由表(2)得C在线段AB延长线上时x0且x+y=1=+,+y=1y=即y0,0+1P点形成图形的面积为SAOB=sinAOB=22sin=,同理SAOB=SABAB=4巩固练习
5、及参考答案1.已知，若，求，2.已知ABC和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=( )A2B3C4D5ANPMBC3.如右图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量，则Ox, Oy的概率是（ ）ABD参考答案：1.=3，=42. B3. 3：14. A参考文献：1卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究J,中学数学研究，2014,(9).2殷华.一道向量题的研究学习J,中学数学研究，2014,(10).3舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用J,数学通讯，2007,(7).
