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1、 毕 业 论 文 （设 计）题目：Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师学生姓名学生学号信息工程系电气自动化专业 2011年 04月 15日摘 要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣。本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制
2、的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early explorati
3、on to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific discipline
4、s branch, and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the
5、 scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested. Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this p
6、aper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability the
7、ory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to use tiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a shor
8、t transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words: Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目 录ABSTRACTII第一章 绪论
9、11.1选题的目的及意义11.2混沌学21.2.1混沌的发展21.2.2混沌的定义31.2.3通向混沌的道路51.3奇怪吸引子51.3.1洛伦兹吸引子51.3.2伊侬吸引子61.3.3奇怪吸引子特性6第二章 混沌的同步研究及其应用82. 1混沌的同步82.1.1同步的定义82.1.2广义同步的定义92.1.3相位同步的定义92.2谈谈几种典型的同步方法102.2.1驱动响应同步法102.2.2变量反馈微扰同步方法112. 2. 3相互祸合的同步方法122.2.4自适应同步方法132.3混沌同步的研究进展132.4混沌同步的应用14第三章 针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计153.1
10、 Loren:系统的科学价值和历史意义153.2 Lorenz系统的动力学行为153.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为153.2.2平衡点和分岔173.3电子电路的应用设计173.3.1简单混沌现象研究204.3.2电路图21第四章 计算机仿真与电路的实现224.1软件设计224.1.1软件设计的基本原则224.1.2软件选择224.1.3电路的实现234.2仿真与分析234.2.1 Matlab仿真234.2.2结果分析24论文总结与展望26致 谢27参考文献28第一章 绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领
11、域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的
12、问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在超混沌系统参数辨识中，虽然
13、提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进;混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lo
14、renz系统的P同步。1.2混沌学1.2.1混沌的发展混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其
15、解是随机的例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror提出了一个环面不变定理(即KAM定理)，这一定理后来被Arnold和Mose证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。1963年，著名大气学家Lorenz研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz方程：dx/dt=-(x-y)，dy/dt=rx-y-xz，dz/dt=xy-bz Lorenz方程右端不显含时间，有三个参数Q(常数Prandtl )，P(瑞利常数)和b(反映速度阻尼常数)
16、，Xl代表对流的翻动速率，x2代表上流和下流的温度差，x3代表垂直方向温度梯度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取b=10,b= 28,b=8/3，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1.1所示。图1.1 Lorenz系统混沌吸引子相图这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单)多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世
17、。其中，第一种方案是共振控制，Hubler和Luscher通过引入一类无反馈外激励型控制使系统呈现事先指定的周期形态;第二种方案是Bloch和Marsden建立一种有反馈的参数修改机制控制同宿轨道;第三种方案是系统理论的应用，Hubler和Fowler分别利用统计性预测和基于Kalman滤波的状态估计器等随机控制方法控制混沌系统并取得了一定的效果。真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Ott, Grebogi和Yorke在Phys. Rev. L ett.上发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY方法。这种控制方法与实
18、验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。同年该校的Ditto,Rouseo,Span。从实验上验证了OGY方法的有效性。随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。1.2.2混沌的定义“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出
19、来的一种复杂现象。早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属本世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全
20、相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成:一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于:蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。第二种混沌定义是基于Li-Yorke定理，是从数学上进行了严格的定义。在1975年，李天岩和约克在美国数学月刊上发表的一篇论文周期3意味着混沌，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li一Yorke定义:对于闭区间
21、I上的连续自映射f (x)，如果满足下列三个条件时，称它一定会出现混沌现象:(I)f有任意周期的周期点；(II)闭区间I存在不可数非周期不变子集S，如果存在一个周期3的周期点时，就一定存在任何整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话说，只要系统中有周期3就会“乱七八糟”，即什么周期点都可能存在。因此，发现在任何系统中是否存在3周期成为判断混沌的至关重要的准则。这种定量的定义混沌是真对集合提出的。第三种混沌定义是:定义混沌的方法是采用了排除法，即与现有的已知运动进行比较来排除的方法。即:除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它
22、的特点是局部极其不稳定而整体稳定。这种定义只是笼统的给出了混沌是自然界中一种新的运动形态，没有给出混沌运动的具体刻画，要想真正确定是否是混沌运动还需要进一步验证。第四种混沌定义是:1989年Devaney给出了一个更直观更便于理解的混沌定义:设X是一度量空间，一个连续映射f : X X称为X上的混沌，如果满足下列条件:(I)f具有对初值的敏感依赖性；(II)f是拓扑传递的；(III) f的周期点在X中稠密。对初值的敏感依赖性，意味着初值为x和y的两点，无论x和y离得多么近，在了的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x附近都可以找到离它很近而在f的作用下离它渐渐远去的点y，对于这样
23、的f，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初值变化，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。拓扑传递性意味着任意一点的临域在f的作用下，将传递整个度量空间。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非杂乱无章。乱中有序，这正是混沌的深奥之处。第五种混沌定义是哈肯提出来的，它干脆就把混沌定义为:来源于确定性方程的无规运动。这里最关键的是如何理解所谓的“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为。1.2.3通向混沌的道路目前发现通向混沌的道路有以下几种:一、倍周期分岔道路:随着系统参数的变化，系统的振荡周期由T变为2T、继而为2T ,，2T，直至最终进入混沌状态。由
24、倍周期分岔通向混沌是出现混沌的重要方式(或道路)之一。也可以说，出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。二、阵发混沌道路:阵发性混沌是指系统在相当长时间内处于某种几乎周期状态，但是随着系统的控制参数接近转变点，会在规整的周期运动过程中不时爆发出一阵阵随机的、不规则的运动片断，而且变得越来越频繁，最后系统进入完全的混沌态，故称阵发性混沌。三、环面破裂:具有两个或两个以上不可约(即比值非有理数)频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。四、危机道路:与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是:危机道路是由全局演化引起的，如跨越稳定与
25、不稳定流型时产生的。在临界参数值之前，是非混沌运动，但是通常存在瞬变过程，在达到它们的渐进规则运动之前，轨迹看上去是混沌的，当参数达到临界值，则混沌的瞬变过程趋于无穷;经过临界后，产生持续的混沌运动。1.3奇怪吸引子奇怪吸引子广泛存在于动力学系统中，又称混沌吸引子(Chaotic Attractor )。指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子，其中最典型的例子是洛伦兹吸引子和伊侬吸引子。1.3.1洛伦兹吸引子1963年洛伦兹在“决定性的非周期流”一文中给出了如下插图。由于洛伦兹所得到的吸引子存在于三维相空间中
26、，所以左图为吸引子在YZ平面上的投影，右图则是在XY平面上的投影。图1.2 奇怪吸引子图1.3伊侬奇怪吸引子1.3.2伊侬吸引子伊侬吸引子是从二维映射421中迭代产生的，下图是在计算机上经过一万次迭代后所得到的结果。其中(b), (c), (d)依次是前一图内小方框中图形的放大。可以看出，在不同放大倍数下的图形，其结构是相似的。1.3.3奇怪吸引子特性奇怪吸引子上的运动对于初始条件非常敏感，作为相空间的子集合，通常具有分维数；奇怪吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化;它的空间结构相当复杂，这来源于轨道的无穷伸长、压缩和折叠;另外，
27、奇怪吸引子具有一切混沌的通用性质、分维数、正的李雅普诺夫指数、正的测度嫡以及功率谱是连续的等等特性。第二章 混沌的同步研究及其应用混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。随着混沌同步和控制的方法在实验研究上的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控
28、制，电子线路等应用领域。下面简单介绍一些关于混沌同步的定义，之后介绍几种典型的同步方法，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。2. 1混沌的同步混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌轨道上去(不是驱动到人们要求的周期轨道上去)。迄今人们已经发现许多种同步方式，例如:全局同步、广义同步、相同步滞后同步等。提出了许多种混沌同步方法，如:驱动一响应同步方法，主动一被动的同步方法，变量反馈微扰同步方法，相互祸合的同步方法等，下面对这些同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。2.1.1同步的定义总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，迄今已发现了几种类型的混沌同步，其中一种
29、类型就是Pceora和Carroll提出的同步方案。该方案电路中存在驱动与被驱动的关系，其中驱动电路可分为稳定部分和不稳定部分，将其中的稳定部分复制一个响应，然后把响应系统与驱动系统用驱动信号耦合起来，由此可达到相应系统与驱动系统同步。 随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛的存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是蔡氏电路。若D(to)是R的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，D(to)称为同步区域。要达到全局精确同步，驱动系统和响应系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两个完全相同的混沌系统，对于确定系统
30、，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会出现其它形式的同步。2.1.2广义同步的定义近些年来，L.Kocarev等人提出了混沌广义同步(Generalized synchronization简称GS)的概念及方法。当所有初始条件(Xo,Yo) C B的响应系统轨道都随时间趋于无穷而趋于M。当t时，响应系统的轨道满足Y=H(X)，则称为广义同步。当n=m且f(X)=g（Y)时，则广义同步又回到一般意义下的同步，即:y=H(X)=X。目前对于广义同步的测定主要是构造辅助系统的方法，这种方法主要是构造与响应系统完全相同的系统，并且用相同的信号去
31、驱动它，若响应系统与辅助系统的输出量随时间的延续最终能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同步。即构造:Z=g(z，h(X) (2.1)若有z(t) = y(t)，则表明达到广义同步。这种方法虽然在理论上非常简单，但是在工程上却需要花费很大的财力。广义同步的测定还可以采用Lyapunov指数方法和符号动力学方法。对于单向藕合的两个混沌系统，当响应系统的第二大Lyapunov指数由0变负时两个系统达到广义同步，或者条件嫡出现突出最小值时表明达到广义同步。2.1.3相位同步的定义1996与1997年，Rosenblum等人提出了祸合自振荡混沌系统之间的“相同步”,他们发现当祸合强度增大到一定程度
32、时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定,而此时两振子的振幅却没有关联，但是系统的两Lyapunov指数中的一个变为负。相同步在数值研究上被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。还依赖于混沌轨道的旋转特性，如果轨道有两个或两个以上的旋转中心，这一定义就必须修改，对于映象系统，上述相位的定义也不一定适用。深入研究这些问题从而建立起对混沌轨道旋转性质的系统和确切的描述仍在探讨之中。继“相同步”提出之后，Rosenblum等人又发现了“滞后同步”，其特征是两藕合混沌系统几乎有相同的状态，只是在时间上一个系统的状态滞后于另一系统的状态。通过数值模拟发现，“相同步”与“滞后同步”存在一定的联系，即:当
33、祸合的混沌系统进入“相同步”之后，如果它们之间的藕合强度继续增强时“相同步”态可以发展成为“滞后同步”的状态，随着系统间藕合强度的进一步增强时间滞后将不断缩短，最后可能发展到全局同步。郑志刚等人发现系统间的参数失匹配程度将直接影响“相同步”与“广义同步”出现的先后顺序，其产生的机制有待于作进一步研究。2.2谈谈几种典型的同步方法2.2.1驱动响应同步法 驱动一响应混沌同步方法是由美国学者Pecora和Carroll在1990年提出来的，其特点是:两个系统存在驱动与响应(被驱动)(Drive-Response)的关系，或称为主役(Master-Slave)关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱
34、动系统的行为与响应系统无关。 其基本原理为:将驱动系统分解成一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。假设驱动系统可以分解为真正用于驱动响应系统的m维驱动变量矢量v以及不用于驱动的k维变量矢量u，响应变量用l维变量矢量w表示。于是，总体动力学系统的总维数为n=m+k+l，总体动力学系统可表示为:v=f (v,u)(m维)(驱动部分)u=g(v,u)(k维)w=h (v, w)(1维)(响应部分) (2.2)复制一个与w完全相同的子系统w作为响应系统:w=h(v, w) (2.3)W和w受相同的驱动变量v驱动，显然，w和w，同步的条件是当t时，w=w
35、-w0。根据矢量场，可以得到: wh (v, w)一h(v, w)=Dw h(v, w ) +O(v,、) (2.4) 其中Dwh是响应系统矢量场的雅可比行列式对响应变量w求偏导数，O(v, w)为高 阶项，在、很小的极限下有: wD,。 h(v, w)d0 (2.5) 若w (t)是常数或周期态，则可求出D .hw的特征值或多重乘子以判断、 (t)的稳定性。Pecora和Carroll对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了用混沌信号驱动响应系统的稳定性分析理论，即所谓条件Lyapunov指数稳定性判据。给出了如下的同步定理:只有当响应系统的所有的条件Lyapunov指数都为负值时，才
36、能达到响应系统与驱动系统的同步。 由于Pecora-Carroll关于驱动一响应同步方法需要将系统进行特定的分解，使其在实际应用中往往受到很大的限制。1995年 L.Kocarev和U.Parlitoz提出了改进方法，即主动一被动分解法，由于该分解方法十分灵活，且有很好的普遍适用性。 考虑如下的n维的动力学系统: ZF(Z) (2.6) 式中ZR为状态向量，F为光滑的向量场。我们总可以把系统(2.19)改为非自治系统形式: X=f (X , S(t) (2.7)其中S(t)为所选的驱动变量，它是X中变量的函数，即 S(t)=h(X)或S(t)=h(X,S) (2.8)复制一个与(2.21)式相
37、同的系统作为响应系统 Y=f (Y,S(t) (2.9)若响应系统(2.9)与驱动系统(2.7)受到相同的信号S(t)驱动，由方程(2.9)及(2.7)可推导出两系统变量差e=X-Y的微分方程为: e = f(X,S)-f(Y,S)= f(X,S)-f(X-e, S) (2.10) 显然式(2.10)在e=0处有一个稳定的不动点，即响应系统(2.10)与驱动系统(2.10)能达到稳定的同步态X =Y。应用Lyapunov函数或线性稳定性分析方法(在。为小值情况下)，或计算(2.9)的条件Lyapunov指数为负，可以证明:则由(2.9)式和(2.7)式所表示的两个混沌系统能够实现同步。这种分解
38、h和f称为主动一被动分解法(Active-Passive Decomposition)或有源一无源分解法。相应的同步类型也称为主动一被动(或有源一无源)同步类型。 主动一被动同步方法的最大优点和关键所在就是可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此，该法具有更大的普遍实用性。事实上，驱动一响应同步方法是主动一被动同步方法的一种特例情况。在很多情形下，驱动函数可以是一般的函数，它不仅依赖系统的状态，而且还可以与信息信号i(t)有关，它通常是信息信号与混沌(超混沌)信号的函数，即:S(t)=h(X,i)或S(t)=h(X,i,S)写成矢量形式。这个特点使主动一被动同步方法特别适合于保密通信方面的应
39、用。2.2.2变量反馈微扰同步方法1993年，德国学者K.Pyragas提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法。即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步问题。变量反馈微扰同步法的原理可用图2.1表示。图2.1变量反馈微扰同步方法的原理图设混沌系统(I)和(II)分别为:X人(X ),Y。它们的同步问题可用下列方法描述: X=fl(X) X=f2（Y)+F(t) (2.11) F(t)=K(X,Y) F(t)是两个系统的状态变量差值的函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，它作为小微扰信号反馈到系统(II)中。只要适当调节控制反馈权重系数ki，系统(I)和系统(I
40、I)就可以实现混沌同步。当两个系统同步时，反馈量不再起作用，即:F(t)=K -q?(X,Y)一01因此，这种同步方法没有改变原系统X的混沌特性，属于反馈跟踪混沌信号的同步方法。应用小微扰变量反馈法时，应注意到两种因素影响:一种是系统参数变化，二是环境噪声，只要在允许的误差范围内，该方法具有鲁棒性。该方法的优点是不必要对系统进行预先的计算机分析，从实验上技术可行，因此有一定的实用价值，反馈系数K的工作范围可以计算确定，高阶混沌情形可以用微扰限制方法，这时受控变量的最小数目必须等于无微扰系统的正的Lyapunov指数的数目。2. 2. 3相互祸合的同步方法 基于相互祸合的混沌同步方法是在八十年代
41、由A. V. Gaponov-Grekhov研究流体湍流时得出的。1990年，Winful和Rahman针对激光混沌，研究了在相互祸合半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性。1994年，美国Roy和Thombury以及日本的Sugawara等人，通过利用激光强相互祸合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统的同步, Carroll等人在研究三个总体祸合的脉冲藕合振子阵列时，也发现了同步现象。大量的研究表明:对于相互祸合的混沌系统在一定的条件下(如祸合强度足够大)，可达到混沌同步，对于这一点，Wu和Chua通过研究Chua电路从理论上进行了证明，其实，从稳定性的理论角度很容易理解这一点，因为祸合
42、的目的在于使系统总的收敛趋势大于系统的发散趋势。相互祸合的思想表述如下:对于混沌系统:dX/dt=F(X) (2.12)复制完全相同的系统:dY/dt=F(Y) (2.13)其中，X,YR,F(X),F(Y)不明显地依赖于t。分别在驱动系统和相应系统的动力方程式的右边加入耦合控制项后为：dX/dt=F(X)+K(Y-X) (2.14)dY/dt=F(Y)+K(X-Y) (2.15)其中，K称为祸合系数，是一个nxn对角矩阵。一般地，只要选择恰当的耦合系数K，那么在参数匹配下就会使两个系统达到同步。2.2.4自适应同步方法“自适应”，是指自然界中的生物能改变自己的习性以适应新的环境的一种特征和能
43、力。所谓自适应同步是:应用自适应控制原理，对混沌中不稳定的周期轨道进行有效的控制，最终实现两个系统的混沌同步。John和Arnritke提出了改进的自适应控制方法，不仅可以应用于控制混沌而且能够实现两个系统的混沌同步。该同步方法的前提是，至少已知系统的一个参数或几个参数，且已知所期望得到的轨迹所对应的参数值。受控参数的变化依赖于如下两个主要条件:一是系统输出变量与期望的相应变量之差二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之差。这种方法可以得到系统参数的变化，所以所有系统的变量可以自由的演化，也不需要知道混沌吸引子的详细情况。2.3混沌同步的研究进展混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴;但由于
44、混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同。传统的混沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构。混沌同步现象的发现，源于九十年代初，首先由美国学者Pecora和Carroll在电子学线路的专门设计的实验中实现两个系统的混沌同步。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动轨迹对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现打破了这个禁锢，开辟了一片新天地，使其具有诱人的应用发展前景。混沌应用的研究也出现了新的生机，很多人竞相投入研
45、究，发展了许多不同的同步方案。2.4混沌同步的应用混沌的主要特征是类似随机运动的无规则性和对初始条件的敏感依赖性，不可能对混沌时间序列作长时间的预测。混沌同步原理的应用首先是保密通信领域。在数据保密通信中，通常需将原始数据与某种伪随机数据相调制。选择合适的伪随机数据是关键。混沌信号由于有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，可选为伪随机信号。混沌由于对初始条件的高度敏感性而具有高度的随机性，可用来对信号进行调制。同时它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件完全决定，因而使其有可能用同步的方法来进行复制，从而可通过解调获得原始数据信息。现有的保密通信主要是产生伪随机序列对待发送数字信号进行一
46、系列变换加密，设备复杂，混沌同步应用于保密通信可简化设备，同时提高保密性。混沌同步应用于通信的基本思想是:利用简单的混沌动力学系统来产生复杂的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以及不同的信息序列，然后通过适当的小微扰方法，实现对不同信息的切换。混沌同步应用于通信有几种主要方法:混沌切换、混沌遮掩、混沌调制等等。混沌遮掩是信息信号和混沌信号被简单的加在一起，混和信号作为传输信号。接收端由同步原理进行设计，用接收到的信号驱动接收端。如发送端和接收端能够同步，作一个简单的减法即可恢复原信号。混沌调制较为复杂，但有一些优点，混沌信号的整个频谱都可以用来隐藏信号，而且对参数变化的敏感性增加，从而增加了保密性。第三章 针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计Lorenz吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说
