任意角的三角函数及恒等变换讲义.doc

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1、基础过关 一、角概念的推广一、角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为 2与角终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180 弧度，1 弧度，1弧度 8弧长公式：l ；扇形面积公式：S .9.写出终边适合下述条件的角的集合。（1）终边在x轴的正半轴、x轴的负半轴及x轴上的角的集合：（2）终边在y轴的正半轴、y轴的负半轴及y

2、轴上的角的集合：（3）终边在坐标轴、坐标轴的分角线及终边在坐标轴和坐标轴的分角线上的角的集合：用集合的形式表示象限角典型例题1.下列各组角中，终边相同的角是A.与k+ (kZ)B.k与 (kZ)C.(2k+1)与(4k1) (kZ)D.k+与2k (kZ)2.若角的终边与角的终边相同，则在0，2上，终边与角的终边相同的角是 .3. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.变式：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为5.在半径为10 cm的圆中，的圆心角所对弧长为6.圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面

3、积是7.4弧度角的终边在第 象限.8.rad化为角度应为 .9.设,满足，则的范围是 .10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.11. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.12.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？课后习题1、与120角终边相同的角是2、若是第四象限角，则1800-是 3、若角与终边相同，则与的关系 若与的终边互为反向延长线，则与的关系 4、在720到720之间与1050终边相同的角是 .5、若3，则角的终边在 6、2弧度的圆

4、心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为7、把化成的形式是8、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .9、在（4，4）上与角终边相同的所有角为 .10、现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.11、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？12、已知是第二象限角，试用弧度制形式表示下列各区域。 (1)角所在的区域；(2)角所在的区域；(3)2角所在的区域.二、任意角的三角函数基础过关1定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| r，则sin ； cos ；tan ；+cosx, sinx, tanx, xy

5、OxyOxyO2三角函数的符号与角所在象限的关系：3、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinxycosxytanx定义域值 域4三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线xyO典型例题2. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.变式3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值3.求函数的值域求函数的值域。4. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.1本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在

6、，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系2在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：角的范围是什么？对应的三角函数值是正还是负？与此相关的定义、性质或公式有哪些?课后习题1、若，则在 2、若是第二象限角，用，则是 3、sin2cos3tan4的符号是 4、若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为 5、若为第二象限角，那么中，其值必为正的有6、已知的终边过点，且0，则_。7、若点P(3，)是角终边上一点，且，则的值是 。8、填表：a0304560

7、90120135150180270360弧度9、已知q是第三象限角且，问是第几象限角？10、已知角的终边上一点P的坐标是（x，2）(x0)，且，求sin和tan的值。11、在区间（0，2）内，使sinxcosx成立的x的取值范围是 12、函数有意义，则x的取值范围是 （ ）13、已知，则满足条件的角的取值范围是_.14、从小到大的顺序是_15、确定下列各式的符号 (1)sin100cos240 (2)sin5+tan516、.x取什么值时,有意义?17、已知，则q为第几象限角？同角三角函数的基本关系及诱导公式基础过关1同角公式：(1) 平方关系：sin2cos21，1tan2 ，1cot2 (

8、2) 商数关系：tan ，cot (3) 倒数关系：tan 1，sin 1，cot 12诱导公式：22ksincossincos规律：奇变偶不变，符号看象限3同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为090角的三角函数值典型例题例1.、已知，则的值为2、已知求：的值2.已知f()=;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.变式训练1：已知A则A构成的集合是 ( )例2求值：(1) 已知，求的值2) 已知，求下列各式的值；变式训练

9、2：化简： ， 例3. 已知，sin xcos x（1）求sin xcos x的值（2）求的值变式训练3：已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.例4、若是第二象限角，且，求 的值例5已知tan=2,求下列各式的值：（1）;（2） ;（3）4sin2-3sincos-5cos2.变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:（1）;（2）sin2+cos2.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外

10、函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.课后习题1、已知，则的值为2、若，则3、已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边为射线，则的值为 4、若，其中是第二象限角，则；5、若，则的值是6、若是第四象限的角，且，则是7、若角的终边落在直线上，则的值等于8、化简： cos4sin42sin2=_.9、已知点在第一象限，则在内的的取值范围为_10、 已知，求下列各

11、式的值：(1)； (2)；11、已知，求的值 12、求证：13、已知sincos，且，则cossin的值是多少? 14、化简sin(2)+cos(2)tan(24)所得的结果是 15、如果，并且，那么= .16、化简：17、求下式的值：2sin(1110) sin960+18、设f(x)=， 求f ()的值复习一、重点、难点剖析理解正角、负角、零角的概念，会表示终边相同的角，会进行角度制与弧度制的换算，熟悉任意角三角函数的定义，掌握三角函数值在各个象限的符号，会利用同角三角函数间的基本关系式解决已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，能利用诱导公式求任意角的三角函数值。1.若，则

12、所在的象限为 2、化简的结果是 3、若，则等于 4、若，且，则 5、化简的结果是_.6、若，则=_.7、若，则的值等于_.8、已知，则=_9、10、11、12、求证： 13、（1）函数，若，则的所有可能值为 （3）已知，则的取值范围是 14、已知，求的值15、sin与cos是方程的两个根，求实数m。16、已知，且，求。17、若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。三角函数的图象与性质基础过关1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的

13、位置与形状2ysinx，ycosx，ytanx的图象注： 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 正切函数的对称中心为 3“五点法”作yAsin(x)(0)的图象令xx转化为ysinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象函数yAsin(x)的图象与函数ysinx的图象关系由ysinx的图象得到yAsin(x)的图象主要有下列两种方法：ysinx相位变换周期变换振幅变换ysinx周期变换相位变换振幅变换5三角函数的性质6函数ysinx的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为xa和xb，则T 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T 若有一个对称点(a，0)和

14、它相邻的一条对称轴xb，则T 注：该结论可以推广到其它任一函数典型例题1、求下列函数的定义域：(1)y1+ (2)y（3）y= （4） y=lg(2sinx+1)+ （5）2、求下列函数的最值：1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=3如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式. 变式训练1：函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图，则函数表达式为变式训练2.已知函数f (x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值变式训练3、设函数图像的一条对称轴是直线。（）求；（）求函数的

15、单调增区间；（）画出函数在区间上的图像。4. 化简f (x)cos()cos()2sin(2x)(xR，kZ)并求f (x)的值域和最小正周期变式训练1：已知函数 ；（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合 5已知函数f (x) 求f (x)的定义域 用定义判断f (x)的奇偶性 在，上作出函数f (x)的图象 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间6设函数，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)f(1)；（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函数f(x)的单调递增区间7、函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） 三、随堂练习1、

16、函数ysin（2x）的单调减区间是2、函数y=2cosx的图象与直线y=2在时围成的图象面积为 3、利用图象变换的原理，说出下列各函数图象可以怎样由函数的图象得到 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4、已知函数y =tan 在（-，）内是减函数，则 5、把函数y=sinx的图象向 平移 个单位得到函数的图象，再把函数图象上各点横坐标 到原来的 倍而得到函数6、若函数yasinxb（a0的最小值为，最大值为，则a、b的值分别为_7、函数y3sin（2x）(0为偶函数，则 8、求函数y=sin(2x+4)的最小正周期。9、若函数的最小正周期不大于2，求正整数的最小值。

17、10、已知函数y=f（x）（xR）的图象是连续曲线，且f（x）不为常数，若f（x）的图象关于x=0和x= a（a0）对称（1）求证：f（x）= f（2a-x）；（2）求证f（x）是周期函数，并求它的一个周期。11.已知函数yacosxb的最大值为1，最小值3，试确定b sin(ax)的单调区间12、如果函数（A0，0，0的最小值为2，周期为，并且经过点（0，），求此函数的解析式.三角函数的恒等变形基础过关1两角和的余弦公式的基本公式 sin()sin coscos sin cos() ; tan() . sin2 ；cos2 ； tan2 .2公式的变用：1cos2 ； 1cos2 tanta

18、ntan ()(1tan tan) 1tan tan3常见的角的变换：2()()； () ()()()； 典型例题例1求2sin50+sin10(1+tan10)的值.变式训练1：(1)已知(,)，sin=,则tan()等于 (2) sin163sin223+sin253sin313等于 例2. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值变式训练2：设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.变式训练3：在ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.例4化简sin2sin2+cos

19、2cos2-cos2cos2.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.例5. 求值：变式训练1：(cossin)例6 已知为锐角，且，求的值. 变式训练2：化简：例7已知；(1) 求的值； (2) 设，求sin的值变式训练3：已知sin()，求cos()的值例8已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、tan的值例9. （1）化简： （2）化简：变式训练1：已知，若，则 可化简为 例10. 已知，求（2）的值变式训练2：在ABC中，求A的值和ABC的面积例11. 已知tan()，-，且、（0，），求2的值.变式训练3：已知为第二象限角，且sin，求的值例12已知（1）求

20、tan的值；（2）求的值变式训练4：已知（），试用k表示sincos的值例13求证：变式训练1：求证：tan()tan()2tan2例14求证：变式训练2：已知2tanA3tanB，求证：tan(AB)变式训练3.已知且sincoscos()（1）求证：；（2）用tan表示tan课后习题一1.（1）= （2）= （3）= （4） = （5）tan17+tan28+tan17tan28= （6）tan20tan30tan30tan40tan40tan20= (7).an17tan43tan17tan30tan30tan43的值为(8).(1tan1)(1tan2)(1tan3) (1tan44)

21、(1tan45) .（9） （10）（11） .（12） .(13)coscos-sinsin .(14)sin2230cos2230= (15) (16) （17） 2.求值(1)sin10sin30sin50sin70(2) cos200cos400cos600cos800 （3）sin6cos24sin78cos48（4）tan70cos10（tan201）（5）cos280sin250sin190cos3203.求的值.4. .5. 6的值等于 。7已知，是第三象限角，求的值8.已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值.9sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0,

22、),b(0, ),求cos(a-b)的值。10.已知sina+sinb= cosa+cosb= 求cos(a-b)11已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值.二1.已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值.2已知锐角a,b满足cosa= cos(a+b)=求cosb.3已知cos(2-)=-,sin (-2)=,且,0,求cos(+)的值。 4，且，求的值.5.已知，求的值.6已知tanq和是方程 的两个根，证明：p-q+1=0.7.已知tana=，tan(-b)=(tanatanb+m),又a,b都是钝角，求a+b的值.8.若tanAt

23、anBtanAtanB1，则cos（AB）的值为( )9.在ABC中，若0tanAtanB1则AB一定是( )10.在ABC中，tanAtanBtan3，tan2BtanAtan，则B等于 .11.已知 .12.已知（）求；（）求的值（其中）13.已知3sinsin（2）且tan1，则tan（）= 14.已知方程x24ax3a10（a1）的两根分别为tan，tan且，（)，求sin2（）sin（）cos（）2cos2（)的值.三1化简.2化简3求证：cosx+sinx=cos(x) .4. 求证：cosa+sina2sin(+a).5. 已知，求函数的值域.1若tan q = 3，求sin2q

24、 - cos2q 的值2用表示3已知，求的值。4已知，求，的值。5求证：6.若270360，则等于 ( ) 7.已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值.8.已知，且，求的值。9.已知求的值10.若，则等于( )11的值等于12已知sin，则sin2（）的值等于 。13已知14求的值。15.已知求的值16 17已知，且，则的值等于18求值：= . 19求证：（1） （2）（3）我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的

25、土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目

26、的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不

27、能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（一） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不

28、是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（二） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情

29、观。（三） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（四） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（五） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间

30、，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（六） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！