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1、 题 目： 定积分在物理学中的应用 作 者 姓 名： 学 号： 系(院)、专业： 数学与统计学院 数学与应用数学 指导教师姓名： 指导教师职称： 2012年2月18日 摘要定积分是高等数学的重要组成部分，在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用的方法。本文主要通过利用“微元法”的思想求变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题，说明微元法关键是在局部是建立微元表达式，从而将所求物理问题转化为定积分。关键词：定积分；物理应用；微元法ABSTRACTThe integral is an important part of higher mathematics, they a
2、re widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral .This paper mainly study the use of differential method, for example, the acting of variable force, water pressure, gravity and so on. It is important that established local and th
3、en changed the physical problem into integral.Keywords: integral; physics application; differential method目 录1.引言12.定积分在物理学中的应用举例12.1变力做功12.2 抽水做功32.3液体的压力42.4引力问题62.5转动惯量73.结束语10参考文献11致 谢12定积分在物理学中的应用 1.引言在物理学中，善于应用定积分解决实际问题是很重要的。定积分的物理应用关键在于：首先对各种常用坐标系有整体概念，其次理解各种常用坐标系下的“数学微元”意义，如:微功、微压力、微引力等；第三对被
4、解决的问题本身有着深刻的认识,进而求出变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题。 用微元法解决实际问题的具体步骤如下：1） 根据实际问题，适当选择坐标系，画草图，并确定定积分变量及其变化区间；2） 在区间上取一点，其增量为（这里应理解为在处的“长”或“宽”或“厚”等），求整体量的微元表达式；3） 对从到积分，便得.2.定积分在物理学中的应用举例下面举例说明微元法在物理中的一些应用,着重说明应用定积分求解物理问题的关键。2.1变力做功 例1：设物体在连续变力作用下在轴上由处移动到处，求所做的功。 解：由于力是一个连续变力，所求功是区间上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决。利用微元法，由于
5、变力是连续变化的，故可以设想在微小区间上作用力保持不变（“常代变”求微元的思想），按常力做功公式得这一段上变力做功的近似值。图一如图所示建立坐标系，变力使物体从微小区间的左端点处移动到右端点处，所做功的近似值，即功微元为：.将微元从到求定积分，得在整个区间上所做的功为：. 例2：在原点有一个带电量为的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一个单位正电荷从距离原点处沿射线方向移动至距离点为的地方，求电场力做功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为轴正方向，那么电场力为（为常数）。这是一个变力。在上
6、， 以“常代变”得功微元为：.于是功为.若移至无穷远处，则做功为. 物理学中，把上述移至无穷远处所作的功叫做电场在处的电位。于是知电场在处的电位为.2.2 抽水做功 例3： 修建一座大桥的桥墩时要先下围囹，并且抽尽其中的水以便施工。已知围囹的直径为20米，水深27米，围囹高出水面3米，求抽尽围囹中的水所做的功。 解：建立如图所示的坐标系。图二取为积分变量，积分区间为。在区间上任取子区间，与之对应的一薄层（圆柱）水的重量为.其中千克/立方米为水的密度。因把这一薄层水抽出围囹所做的功近似于克服这一薄层水的重量所作的功，所以功微元为以为被积表达式，在区间上做定积分，得所求功为.2.3液体的压力从物理
7、学中知道，在水深处的压强为，其中是水的密度，是重力加速度。如果有一面积为的平板水平地放置在水深为处，那么平板所受的水的压力是.如果平板铅直放置在水中，那么由于水深不同的点处不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述公式计算。下面我们举例说明它的计算方法。 例4： 设一个横放的半径为的圆柱形水桶，里面盛有半桶水，计算桶的一个端面所受的压力（设水的密度为）。 解:桶的一端面是圆板，现在要计算当水面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力。选取坐标系（如下图）。圆方程，取为积分变量，在的变化区间内取微小区间，视这细条上的压强不变，所受的压力的近似值，即压力微元为于是，端面所受的压力为 .图三 例
8、5： 设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐标系如图四所示。当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水的压力。 图四 解：取为积分变量，积分区间为。在如图所示的坐标系中，的方程为. 在区间上取子区间，与之对应的小薄片的面积近似于宽为，长为的小矩形面积。这个小矩形上受到的压力近似于把这个小矩形水平放置在距水面深度为的位置上一侧所受到的压力。由于，,所以压力元为 .以为被积表达式，在区间上做定积分，得所求的水压力 . 2.4引力问题由万有引力定律，两质点之间的万有引力为，若要计算细棒对质点的引力，须用微元法解决。 例6：设有质量为，长度为的均匀细杆，另有一质量为的质点位于同一直线上，且到杆的近段距离为，
9、求杆对质点的引力。 解：取为积分变量，变化区间为，任意小段近似于质点，且质量为，则引力微元为图五则引力为 .2.5转动惯量在刚体力学中转动惯量是一个很重要的物理量，若质点质量为，到轴距离为，则该质点绕轴的转动惯量为现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体的形状对称，并且质量均匀分布时，则可以用定积分来解决。 例7：一均匀细杆长为，质量为，试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的转动惯量。 解：选择坐标（如图）。先求转动惯量微元，为此考虑细杆上一段，它的质量为，把这一小段杆设想为位于处的一质点，它到转动轴距离为，于是得微元为.沿细杆从到积分，得整个细杆转动惯量为. 例8：设有一个
10、半径为质量为的均匀圆盘，(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;(2)求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面密度为.对应于的小圆环对轴的动惯量为,故圆盘对轴的转动惯量为 .对应于的小圆环质量取旋转轴为轴, 建立坐标系如图.对应于的平行轴的细条，关于轴的转动惯量元素为,故圆盘对轴的转动惯量为 .细条质量: 3.结束语上述是定积分在物理学应用中的一些例子，本文是借助定积分在物理学应用中常见的几种例题加以分析说明，从而介绍了怎样应用定积分中的“微元法”思想来解决物理问题，并指出“微元法”在物理学的应用中应当注意的问题。参考文献1 郭增华，定积分在物理中的应用几例J，高等数学研究，1994，4，35-37.2 任佳丽，浅谈定积分的物理应用J，林区教学，2010，10，87-88.3 朱基珍等，应用定积分解决物理问题的关键J，广西工学院学报，1997，3，6-10.4 叶俊，定积分在物理中的应用J，武汉交通管理干部学院学报，1997，4，67-69.5 吴明德，定积分的应用举例J，高中数学教与学，2008，10-11.6 华东师范大学数学系编，数学分析M，高等教育出版社，2003.
