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1、目录第一章 绪论 2第二章 积分因子问题综述31积分因子的定义32积分因子的存在条件43积分因子的形式53.1一般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件 63.2其它特殊形式的积分因子 73.3一般结论：方程有特殊形式的积分因子的充要条件94求解积分因子的一般方法104.1观察法 104.2分组法114.3一种特殊积分因子的求法135 四种常见类型的一阶微分方程的积分因子解法155.1变量分离方程155.2齐次方程155.3一阶线性方程175.4伯努利方程17参考文献 18致 谢19常微分方程积分因子问题综述孟国明数学与信息学院 数学与应用数学专业 2004级 指导教师：李中平摘要：采用积分
2、因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段。本文首先介绍了积分因子的定义和存在条件等基本概念，使积分因子与求解微分方程之间建立了桥梁关系，也是引入积分因子的原因所在。鉴于积分因子的不唯一性和求解过程的复杂性，总结出几种特殊形式的积分因子以及其存在的充要条件，并推导证明了一般形式积分因子存在的充要条件。分析求解微分方程过程中寻找积分因子的多种方法：观察法和分组法，对于一些特殊的微分方程特殊对待，而特殊形式的积分因子可以作为公式法求解积分因子，并通过实例验证这些方法的有效性。最后运用这些方法推导出四种常见的一阶微分方程的积分因子的一般形式，其形式简单、易行，融汇贯通所学知识
3、。关键词：恰当方程；积分因子；通解；微分方程ODE integral factor SurveyMeng GuomingCollege of Mathematics and InformationMathematics and Applied Mathematics, Grade 2004Instructor: Li ZhongpingAbstract：It is an important mean of using the integrating factor method to solve differential equations, which make the first-order
4、 differential equations become full-differential equations. In this paper we first introduce the definition and the conditions on existence of the integral factor and some basic concepts. In order to makes a bridge between the solution of the differential equations and integral factor, we introduce
5、the integrating factor. In view of the integral factor is not unique and the complexity of the solving process, we summed up several special forms of the integral factors, and give the necessary and sufficient condition on the existence. Furthermore, we deduced that the necessary and sufficient cond
6、ition for their existence of the general form. In the process of solving differential equations we find a number of integral factor solving ways: the observation law and the division law, for some special differential equations we treat them specially, and the special forms of the integral factor ca
7、n be used as formula to solve them, and demonstrate the effectiveness of these methods through examples. Finally we by these methods deduced derived the general forms of the four common first-order differential equations integrating factors, the forms of them is simple, easy, to integrate knowledge
8、through studies.Key word: appropriate equation; integrating factor; ordinary solution; differential equation第一章 绪 论微分方程作为数学的重要组成部分，它的应用已日益渗透到经济学、军事学、生物生态学、环境科学等多个重要领域，它是数学科学联系实际的主要桥梁之一。在学习实践中，利用积分因子来巧妙的解微分方程，是一种有效的解决方法，值得研究和探讨。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作，由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系。由于该问题比较复杂且
9、涉及的面广，使得有些问题并不是很完善，比如利用解恰当方程的方法求常微分方程的解，是一种好方法，然而积分因子的求法却是不容易，有的甚至根本无法求出。一阶微分方程总可以表示为对称形式： ， （）其求解是整个微分方程求解的基础。该方程为恰当方程的充要条件为：，而能否将一个非恰当方程化为恰当方程有很大的意义,积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。本文主要是对积分因子进行一些探讨：1、 第一节介绍了积分因子的定义，并由此得出积分因子与通解之间的关系，便于理解引进积分因子的意义所在。2、 第二节证明了积分因子存在的充要条件，而存在的充要条件有助于发现特殊形式的积分因子，为其证明奠定了基础，是探讨积分因
10、子形式的前提及证明特殊积分因子存在充要条件的基本思想。3、 第三节在一般教材原有只与和只与有关的积分因子的形式的基础上介绍了其它几中特殊的积分因子的形式及其存在的充要条件，并推导出一般形式积分因子存在的充要条件的表达式。而特殊形式的积分因子成为了求解一些积分因子的好方法，并使更一般的积分因子求解的发现豁然开朗。4、在前面讨论了积分因子后，而积分因子的求解无固定方法可循，第四节力图通过对全微分方程的探索，通过不同的分类方式，提出了求解积分因子较有效的几种方法，突出每种方法的特点，但有时也可以多种方法混合使用。5、 介绍积分因子归根到底是为了求解微分方程，更好的了微分方程，最后第五节推导出四种常见
11、的一阶微分方程的积分因子的一般形式，其形式简单、易行，让大家了解求解微分方程方法的多样性，通过观察比较学习简易解题。本文在一阶微分方程的范围内对积分因子作了粗浅的讨论，还需我们今后在学习过程中认真探索，对于积分因子在偏微分方程的应用、在微积分学中的应用等多方面还需我们进一步研究探讨，以更全面的了解积分因子。第二章 积分因子问题综述1 积分因子的定义当方程不是恰当方程时,则。如果存在连续可微的函数，使得为一恰当方程，即存在函数,使得 ， （1.1）则称为方程（）的积分因子。此时是方程（1.1）的通解，因而也就是方程（）的通解。例如：方程不是全微分方程，但是由于，可知是一个积分因子。可以验证，也是
12、该方程的积分因子。结论：如果是微分方程（）的积分因子，即存在可微函数使得，那么也是方程（）的积分因子的充要条件是，这里是的可微函数。证明：（充分性）这里是的一个原函数，这就意味着是恰当方程，其通解就是 (为任意常数)。（必要性）因为是方程（）的积分因子，所以存在可微函数使得，两边乘以得：，所以，这里令为的可微函数。2 积分因子的存在条件命题：对于方程（），当时，是其积分因子的充要条件是，即 ， （2.1）也即 。证明：是其积分因子为恰当方程又 （2.2）。另由，得为方程（）的积分因子的充要条件是为方程（2.2）的解。3 积分因子的形式理论上可以证明积分因子必定存在，但是实际上没有一个一般方法，
13、一般的常微分方程教材对于积分因子只给出了只与和只与有关的积分因子的形式及充要条件，我们在此基础上再探讨一些特殊形式的积分因子及其存在的充要条件，并推导出其一般形式的充要条件。3.1 一般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件（参考王高雄等编写的常微分方程，其证明过程略）3.1.1只与有关的积分因子方程（）存在只与有关的积分因子的充要条件是： ， （3.1）这里仅为的函数,可以求得相应的积分因子具有这种形式。例1求解方程的积分因子及通解。解：因为，所以，从而原方程不是恰当方程。考虑，从而方程有只与有关的因子。 原方程两边乘以积分因子，变为，整理得，所以通解为(为任意常数)。3.2.2只与有关的
14、积分因子方程（）存在只与有关的积分因子的充要条件是：,这里仅为的函数，可以求得相应积分因子具有这种形式。例2：求解微分方程的积分因子及通解。解：因为，所以，易知原方程不是恰当方程，而，方程有只与有关的因子。原方程两边乘以积分因子，变为，整理得，所以通解为 (为任意常数)。另外也为方程的解。3.2 其它特殊形式的积分因子方程除具有以上形式的积分因子外，还具有如下形式的积分因子：、等，其存在的充要条件分别是：（1），是仅与有关的函数；（2），是仅与有关的函数；（3），是仅与有关的函数；（4），是仅与有关的函数；（5），是仅与有关的函数；（6），是仅与有关的函数；（7），是仅与有关的函数。证明 下面
15、我们证明充要条件（4），其它证明类似。设积分因子是关于的函数，注意到：，从而积分因子满足的偏微分方程有如下形式：，于是可得的一阶线性齐次微分方程如下： ， （3.2）式（3.2）的左边只与有关，其右边也只与有关。即 。可见，微分方程有形如的积分因子的必要条件就得到了。反过来说，是关于的函数，且是方程（3.2）的解，即是方程（）的积分因子。由（3.2）可解出：。 我们看到：求解积分因子时，需要判断，以及它们的偏微分是否满足以上几种关系，若满足，积分因子很快就能得到，所求的微分方程的通积分也就得解了。因此以上几种关系可以作为求解积分因子的公式法。（参考李永玲，陈海鸿的与积分因子有关的几个结论与伍军
16、的求解积分因子的几种方法）。例3：求微分方程的积分因子。解：因，只与有关，于是积分因子为。3.3 一般结论：方程有一般形式的积分因子的充要条件由（2.1）知, 为方程()的积分因子的充要条件是分式，且(这里为的复合函数)。证明：先考虑必要性，若是方程的积分因子，由积分因子的定义知，它必须满足（2.1），由于，所以得， ， （3.3）由上式知若左端仅是的函数，则也是的函数。充分性：由（3.3）式知，若右端仅是的函数，则也仅是的函数，且由前面推证中知是方程的积分因子，于是命题得证。4 求解积分因子的一般方法微分方程中对于积分因子的求解已有不少专家研究，这里通过不同的分类方式，仔细讨论积分因子的求法
17、：观察法、分组法及一种特殊积分因子的求法。因为不同类型方程的积分因子的求法不同，通过仔细分析，加以综合，得出结论。下面介绍求解积分因子的主要方法：4.1 观察法4.1.1直接观察法：对一些简单的或特殊形式的微分方程，可以凭借观察法直接求得积分因子。如：例4：求微分方程的通解。解：因为，可知此方程不是恰当方程。但是由于，因此观察出是其积分因子。故方程两边乘以得，所以其通解为(为任意常数)。 此外观察可得此方程还有其它积分因子：，。直接观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，通过观察可直接看出。4.1.2分组观察法：对于一些稍微复杂的方程不能直接看出，需要对原方程重新组合，再运用观察法得出，即
18、分组观察法。例5：求微分方程的通解。 解：显然此方程不是全微分方程，且不易直接观察出积分因子。不妨将原方程重新组合，再进行观察。将原方程重新组合得：，得，于是可以得出为积分因子。将乘以上式两边得：即有，于是原方程的通解为(为任意常数)。4.2 分组法一个较复杂的方程，仅靠观察法往往不宜直接求出它的积分因子，运用分组找积分因子的方法通常称为分组法，而求解微分方程的方法称为分组积分因子法。4.2.1分组法一：对于较复杂的方程，仅靠观察法往往不易直接求出它的积分因子，但如果把它分成几组如把方程（）分成两组： （4.1）分别求得两组的积分因子为和，也就是如果有和使，于是借助于和可求得整个方程（）的积分
19、因子。为了找到方程（4.1）的积分因子，先证明如下结论：如果是方程（）的积分因子，即，则也是方程（）的积分因子，其中连续。（参考杨淑娥的一阶微分方程的积分因子解法和阎淑芳的积分因子存在条件及求法，为了方便，不妨给出其证明方法） 证明：其中是的一个原函数。由此可知，对于任意的连续函数及，都分别是方程（4.1）的第一组和第二组的积分因子，而函数、有着广泛的选择性，若能先选得和使：，则结束方程组（4.1）的第一组也是第二组的积分因子，因此也就是方程（4.1）的积分因子。最后方程的通解就是：。例6、求解微分方程。解：先把左边分组成，凑微分得：，显然，；和，。为了使，取 ，则原方程的积分因子为： ，用乘
20、方程两边得：两边积分得：(为任意常数)。 注：运用分组法求积分因子时，有两个重要问题： （1）关键在于将较复杂的对称形式的方程进行适当分组。 （2）重难点在于适当选取和，使。4.2.2 分组法二：分组凑微分法求积分因子对某些形式比较简单的微分方程，可以通过“凑微分”的方法来求积分因子，为此，必须熟悉一些基本的二元函数的全微分。例如：；等。求解时先对方程进行展开，再运用一些熟知的微分形式，找到合适的积分因子凑微分，化方程为恰当方程,从而解得方程。例7、求解微分方程的通解。解：展开，凑微分得，为了消去方程中的系数“3”，我们可以考虑用幂函数的微分，所以方程取积分因子，两边同时乘以得,整理后可得，所
21、以方程的通解为(为任意常数)。此例可归结为两边乘以，这种情形主要运用幂函数的微分消去常数因子，从而化方程为恰当方程。4.3 一种特殊积分因子的求法讨论方程（）有两个单变量函数乘积形式的积分因子的求法。（参考周良金的一类微分方程的积分因子的探讨，下面引用了周良金的两个定理）定理1：对于方程（），若存在，使 (4.2)满足 ， (4.3)则是（）的积分因子。证明：由（3.1）式得，是（4.2）的一个积分因子，即是恰当方程，由此可得是（）的积分因子。注意：应用此结论的关键在于如何寻找，事实上，若（4.3）成立，则必有 ， （4.4）即 。 （4.5）于是预求，只需寻找适当的，使得为变量的函数即可（此
22、时）。定理2：对于方程（），若存在，使 (4.6)满足 ， (4.7)则是（）的积分因子。例8：利用上述理论可求方程的积分因子。分析： ，由于，所以此方程不是恰当方程，且积分因子也不是或的单变量函数。事实上，若存在满足（4.5）式，则有为的函数，显然当时，于是由（4.5）式得，即，由定理1得。对于有些问题，可设存在使（4.3）成立，从而“逼出”。结论：总的看来，求解积分因子的方法很多，观察法适合比较简单的微分方程积分因子的求解，分组法则适合较复杂一些的微分方程。要想提高做题速度，在做题过程中还要认真审题，把握好各个题目的特点，熟练掌握每种方法的特点，然后选取一种合适的方法进行求解，有时也可以多
23、种方法混合使用。5 四种常见类型的一阶微分方程的积分因子解法由一阶微分方程的初等解法知，四种基本类型的方程均可通过积分因子化为恰当方程。在历史上，欧拉(Euler)试图利用积分因子的方法统一处理这一问题，虽然结果不是很理想，但至少说明一点，这四种方程的积分因子均存在，均可运用恰当方程的方法求解，所以掌握好积分因子的求法是十分必要的。下面就此进行说明。（参考杨淑娥的一阶微分方程的积分因子解法）5.1 变量分离方程变量分离方程的一般形式为，写成微分形式即，两边同时乘以得，此时易得方程的通解为 (为任意常数)，由此可知方程有积分因子。例9：求的积分因子及通解。 解：原方程变形为：，得，于是积分因子为
24、，方程两边乘以上积分因子得：，两边积分得原方程的通解为：(为任意常数)。5.2 齐次方程由可分离变量方程的积分因子可以导出齐次方程的积分因子。设齐次方程为： ， （5.1）其中 ，方程（5.1）两边同乘以并令代入化为对称式： ， （5.2）方程（5.2）可分离变量型，其积分因子为，将代入并乘以得齐次方程（5.1）的积分因子：。证略。注：当时有相同的积分因子。例10：求解微分方程的积分因子及通解。解： 积分因子为：，方程两边乘以积分因子得：，取，由全微分方程通解公式有 ，原方程的通解为：， 即： 。5.3 一阶线性方程线性方程的一般形式为，写成微分形式得，其中，因此，所以，从而方程有积分因子。由
25、此不难求得方程的通解为。注：同理可得的积分因子为。例11：求的积分因子及通解。解：原方程化为一般形式：，积分因子，方程两边同乘以得：，凑微分得：，两边积分得通解：(为任意常数)。5.4 伯努利方程伯努利方程的一般形式为写成微分形式得，两边乘以得，则，所以，则变形后方程的积分因子为，乘以得伯努利方程的积分因子为。例12：求的积分因子及通解。解：由于，积分因子为，原方程两边同乘以，并化为对称式：，凑微分为：，两边积分得通解为：(为任意常数)。一般说来，对于以上常见的四种类型的微分方程，均可以找到以上类型的积分因子从而化为全微分方程求解。由此可知利用积分因子可以求解某些一阶微分方程，但是对于不同类型
26、的方程而言，这并不一定是最好最简便的方法，这就要求我们在掌握基本解法的同时学会具体问题具体分析，尽可能采取简便易操作的方法。参考文献：1王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程M.高等教育出版社,1983. 2李永玲,陈海鸿.与积分因子有关的几个结论J.陇东学院学报,2007.4(1):15-16.3伍军.求解积分因子的几种方法J.新疆师范大学学报,2006.3(1):103-109.4高正晖.一阶微分方程三类积分因子的计算J.南阳师范学院学报,2002.6(3):52-55.5阎淑芳.积分因子的存在条件及求法J.邯郸师专学报,2004.9(3):3-6.6周良金.一类微分方程的积分因子的探
27、讨J.襄樊学院学报,2003.9(5):19-21.7杨淑娥.一阶微分方程的积分因子解法J.彭城职业大学学报,2000.3(1):74-78.8刘绎玉.关于一阶方程的积分因子法J.广东石油化工高等专科学校学报,2000.2(1):58-60.9苑金臣.用凑微分法解微分方程25例J.大学数学,1993.(03).致谢在毕业论文即将完成之际，特向曾经给我帮助和支持的人们表示衷心的感谢首先要感谢我的指导老师李中平老师，在我的毕业设计开题、调查、研究和撰写过程中，李中平老师给予了我耐心、细致和全面的帮助，让我学会了如何写论文，如何找资料，也获得了实践锻炼的机会他严谨的治学态度，对我的严格要求使我终身受益在此，我向他表示最真挚的感谢此外，我还要感谢在写论文的过程中给我帮助的同学，正是由于你们的帮助和支持我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至论文的顺利完成
