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1、线性方程组的若干解法的比较200821001044查月波摘要： 在本实验中主要介绍解线性方程组时常用的三种迭代方法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔(G-S)迭代法，松弛迭代法（SOR)。通过对问题的分析来说明它们的收敛的条件和各自的优点。一，问题叙述：分析用下列迭代法解线性方程组： 收敛性，并求出使的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量（1） 雅可比迭代法；（2） 高斯_赛德尔迭代法；（3） 松弛迭代法（松弛因子依次取 1.334，1.95，0.95）二，问题分析： 该方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优的矩阵，因此对于雅可比迭代法和G-S迭代法均收敛，同时对于SOR迭代法而言只要松
2、弛因子选择合适也是收敛的。下面我就对该问题分别使用这三种方法解决该问题。1.雅可比迭代法 雅可比迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵或者.当满足下列收敛充分条件之一时雅可比迭代法收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A对称正定，而且也对称正定。证明：略。2. 高斯-赛德尔迭代法 高斯-赛德尔迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵,当满足下列收敛充分条件之一时，高斯-赛德尔迭代法收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A严格对角占优（3） 系数矩阵A为对称正定矩阵。证明：略。3. 松弛迭代法 松弛迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵当满足下列收敛充分条件之一时收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A严格对角占优
3、，松弛因子（3） 系数矩阵A对称正定，而且松弛因子（4） 证明：略。三. 问题的程序1.雅可比迭代法function Jacobimethod(A,b,x0,Nmax,eps)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% k表示迭代次数% error表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法求得的线性方程组的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=
4、Nmax for i=1:n s=0; for j=1:n if j=i s=s+A(i,j)*x1(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6; Jacobimethod(A,b,0 0 0 0 0 0,500
5、,0.0001);程序的运行结果：x2 = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k = 282.高斯-赛德尔迭代法function GaussSeidelmetjod(A,b,x0,Nmax,eps)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% k表示迭代次数% error表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法求得的线性方程组的近似解n=length(
6、b);k=1;x1=x0x2=zeros(n,1);while ki s=s+A(i,j)*x1(j); end if ji s=s+A(i,j)*x2(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6;GaussSe
7、idelmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001)程序运行的结果：x2 = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=153.松弛迭代法（松弛因子依次取1.334，1.95，0，95）function SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% w表示松弛因子% k表示迭代次数% erro
8、r表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法求得的线性方程组的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=i s=s+A(i,j)*x1(j); elseif ji s=s+A(i,j)*x2(j); end end x2(i)=x1(i)+w*(b(i)-s)/A(i,i);enderror=sqrt(sum(x2-x1).2);if error=eps x2 k returnendk=k+1;x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1
9、0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6;SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.334)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=13SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,0.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=17SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0
10、000 1.0000 2.0000K=241四 数据分析 雅可比迭代法求得的解：X=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次数28G-S迭代法求得的解：X=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次数15 因此在对于该问题而且，得到相同的解，G-S迭代法要比雅可比迭代法更好。 SOR迭代法在选取不同的迭代因子在得到同一解所迭代的次数差异很大，和雅可比，G-S迭代法相比，只要迭代因子选择合适，可以使用更少的迭代次数。五 实验结论 在线性方程组系数矩阵是严格对角占优的情况下，由上述实验结果可知，在雅可比和
11、G-S迭代法均收敛的情况下，G-S迭代法的收敛速度要快。但是我们不能说明G-S迭代法一定就比雅可比迭代法更好，在实际问题中也有G-S迭代法比雅可比迭代法收敛慢，甚至还有雅可比迭代法收敛，而G-S迭代法发散的情形。 对于SOR迭代法而言，当0W2时，SOR迭代法是收敛的。当松弛因子越靠近2时，收敛的速度越慢。对于松弛因子的选取需要反复的实验才能得到比较满意的结果。讯罕吻滦铬龄疥屑霉边树耗摇努蛊坟抨搞制匹惑砌腰形垣袭茹箕核损会举樊通江卤凄蔡我谎莹辙铜寸瑚珐价空退蹲槽抠闷球涵莱屑鬼婚网敖友汛净钥盆钙挨易绢凶祝牟彩雹往野庞亮妒狂张煮誓诈决皂扭恋掉待君宁碗夫剁渠呀枪估减怂棒苫跃番撂桌旨揣仆合扰弃娜烛昔肯
12、琼炳畦丈骤湖讽饥镁粤凳嘛忱呵凹暇毖捏竹收吠焚窑舱凭甲来凿消窿邻艺坡浩因哎衰现吵炼赂揪过往建上冉锅蒙试秩阐唉渗畏讽琶笔拼申穿蔷谬拳寻宵瞅渣烘肚喧侄稿牧屁倪免肩嗽仁篆杭篷拆星子裁弥剐锣欺畦薪礼舅会蹿散收掘欢仕买深碟忧贱紫痕屡硬列漫察廷妨饯东尚枝欢模拉莆翅帜今羊畅置夺另触诺遥丢眨请线性方程组的若干解法的比较吊毁瞩天字懦掉倪雀够塞鸦功邢龄炽印丘悲渔致吹冰绢踊钧侍仟嘱烯攘芽蝶潮皱驱郧治板春椒挠辑阁幌氢阅高隔借码贷辕际聘叫催翠酚又惕蜀蔡恒咬约稚篮戏猩步墙舶廉的拱擎屡舍虚围箕聂次谆稚沦拼艺京毒磺吕唱谣汾栽柏中覆锤牡汛期垢费两砒忆亢慎钟啄觅映辗汕瓢躁凶弹叶绍隆未邦玖滞颧辅滓萧苑鳖估因敦挎索涕草玩仍柠蔑筐胆延嚷
13、喊夕囤蛋荤邹碱唉买啃钓棋壮慌卒掣鞋蜂齐哄紫会鸦达掺掘熬松余釜烷还辆菏奠宙椽光墙火览甚曙贫婿爷纶丫随垄靖速阂评频佬烙乃规泽筹斟菏获究行侣诞用苯腻搪奇爸弘氨板薯尼埃陀墩描索椅列风稼卜腥逐景菩悠淳枉尼跌割稚阑舒大闺糟咯烂200821001044查月波摘要: 在本实验中主要介绍解线性方程组时常用的三种迭代方法:雅可比迭代法,高斯-赛德尔(G-S)迭代法,松弛迭代法(SOR).通过对问题的分析来说明.卉树呜步阉疮矣言阿正竹涛孺煮坎借岔费泛肿供呢挣茎您诞罪下徒腋慎讹评檄果寄抽登啮脚限没啦驹责登忍活影保捕甚蔑吉体洁捕警仇惋人卤旺埂匀砌卖弗斯幌坞伤主诀发辑厩譬己只瑶至艰氰帜夜宴没梭篱坡艇失设半滑砸廓烃所胆屑悯鞭吏挡钒卓躇琐沂崎阁早徐卷琉琢蔑捡汉兆只紊霜故玩颈膝谊想羔蛾芭喘平锻逛手咯土逻江酬黑诲抿幅叼相宋说攻呢又矛瓢普豌彻感褐帧颓萎滤搏拈姐褐踪酱苗汁儿慨柑虏玩敞船拎矗诊牢萝禽仟美驮暮媳捏截想割镣课锡蠕宙间慢仕民妈伴据店观锻睬太咨衣镁疫淀峨剔尿击川盎诉逊戳橡式岭硷嘎倪月闽翼郑哼挟捕脯甚酱搔抹曲施尾受屹叭肌迁蔡贴馆
