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积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设在上连续，则，使得。证一：由积分第一中值定理（P217）， 使得 。 于是 由于函数在上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论) ，使得，即。证二：令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故 ，使得，即结论成立。（注：书上在后面讲的微积分基本定理）证三：反证：假设不，使得 ，由积分第一中值定理，知只能为或，不妨设为，即。 由于连续，故 （或），（这一点是不是用介值定理来说明）这样 （上限改为） （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。证四：设在上的最大值为，最小值为。若，则，可任取。若，则，有，故，即 同理有 由连续函数的介质定理知：，使得 。注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！
