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1、直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】双曲线双曲线的定义与标准方程双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦
2、点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点 轴实轴长=，虚轴长= 离
3、心率渐近线方程要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不
4、求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质（3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F1
5、、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，点P在双曲线上，若，且，其中，求双曲线的离心率【解析】由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，又|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|2b2，又，2ac2b2，b2c2a2ac，e2e10，e，即双曲线的离心率为.【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。举一反三：【变式1】 (2015 上海)已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程 .【答案】【解析】设点和的坐标为、，则有又因为的渐近线方
6、程为，故设的方程为，把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即。故答案为。【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为yx，则该双曲线的离心率为()A5 B. C. D. 【答案】C类型二：直线与双曲线的位置关系例2已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1k2)x2+2k2xk24=0 (1)当1k2=0即k=1时，方程可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况
7、，相交但不相切).(2)当1k20时，即k1，此时有=4(43k2)若43k20(k21)，则k，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若43k2=0(k21)，则k=，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若43k20且k21则k，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=1或k=时，直线与双曲线有一个公共点；当k时，直线与双曲线有两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点.【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨
8、论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l与双曲线=1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )A. B.C. D.【答案】B【变式2】直线y=x+3与曲线x|x|+y2=1的交点个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。【思路点拨】显然采用过P点的直线方程与双曲线方程联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得
9、：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.举一反三：【高清课堂：双曲线的性质371712例2】【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y=kx+m(m0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。【答案】（1）（2）类型三：双曲线的弦例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达
10、定理进行求解。（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.解：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，.（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或.方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程【答案】【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A
11、. B. C. D. 【答案】C【变式3】（2016 海南校级模拟）双曲线C的一条渐近线方程是：x2y=0，且曲线C过点。（1）求双曲线C的方程；（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值。【答案】（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x24y2=k，把代入可得k=4，所以双曲线方程为。（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值。由上可得A1（2，0），A2（2，0），根据双曲线方程可得，所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2（k1、k20），则。PA1的方程为y=k1(x+2)，
12、令x=1，解得M（1，3k1），PA2的方程为y=k2(x2)，令x=1，解得N（1，k2），所以。当且仅当3k1=k2，即时等号成立。类型四：双曲线的综合问题例5.已知点M(2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|PN|=2.记动点P的轨迹为W.()求W的方程; ()若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.【思路点拨】()中，选好控制变量-直线的斜率k, 建立目标的函数是关键。【解析】() 根据双曲线的定义可得W的方程为.()设A,B的坐标分别为(),(),当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故, 所以又因为所以从而当轴时,从而综上,当ABx轴
13、时, 取得最小值2.【总结升华】双曲线中的有关最值问题多考虑双曲线的定义、几何性质及函数表示，转化为图形问题和函数的最值问题解决.举一反三：【高清课堂：双曲线的性质371712例3】【变式1】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.【答案】直线方程；双曲线方程【变式2】(2014 湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC3D2【答案】A【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，(aa1)，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2F1PF2，由余弦定理可得4c2(r1)2(r2)22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c24a123r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c24a22r1r2，即，联立得，由柯西不等式得，即即，当且仅当时取等号，故选：A
