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1、Mathematica入门教程Mathematica的基本语法特征如果你是第一次使用Mathematica ，那么以下几点请你一定牢牢记住：Mathematica 中大写小写是有区别的，如Name、 name、 NAME 等是不同的变量名或函数名。系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sinx,Conjugatez 等。乘法即可以用 * ，又可以用空格表示，如2 3 2*3 6 ,x y,2 Sinx 等；乘幂可以用“ ”表示，如 x0.5,Tanxy 。自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。当你赋予变量任何一个
2、值，除非你明显地改变该值或使用Clear 变量名 或“变量名 =. ”取消该值为止，它将始终保持原值不变。一 定 要 注 意 四 种 括 号 的 用 法 ： () 圆 括 号 表 示 项 的 结 合 顺 序 ， 如 (x+(yx+1/(2x);方 括 号 表 示 函 数 ， 如Logx,BesselJx,1 ； 大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如 2x,Sin12 Pi,1+A,y*x； 双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a2,3 、 1,2,31=1。Mathematica 的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。
3、当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。一.数的表示及计算1.在Mathematica中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。例如：你输入In1:=378/123 ，系统会输出In2:=N378/123,5, 即求其Out1:=126/41 ，如果想得到近似解，则应输入5 位有效数字的数值解，系统会输出Out2:=3.0732，另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值，如100700
4、0,2(-2000) 等数值可以很快地求出，但在其他语言或系统中这是不可想象的，你不妨试一试Mathematica 还定义了一些系统常数，如上面提到的Pi( 圆周率的精确值NPi,1000 。)，还有 E(自然对数的底数) 、I( 复数单位)，Degree(角度一度， Pi/180) ， Infinity( 无穷大 )等，不要小看这些简单的符号，它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值，它们的精度也是无限的。二 .“表”及其用法“表”是 Mathematica 中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组 括起来，进行运算、存储
5、。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存，可以方便地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。如果你建立了一个表，你可以通过下表操作符( 双方括号)来访问它的每一个元素，如我们定义table=2,Pi,Sinx,aaa,A*I为一个表，那么 table1 就为 2， table2就是 Pi，而 table3,1 表示嵌套在 table 中的子表 aaa,A*I 的第一个元素即aaa， table3,2 表示 aaa,A*I 第二个元素即 A*I 。总之，表每一层次上并列的部分用逗号分割，表可以无穷嵌套。你可以通过 Append 表 ,表达式 或 Prepend表 ,表
6、达式 把表达式添加到表的最前面或最后面，如Append1,2,3,a表示 1,2,3,a 。你还可以通过Union 表 1，表 2，.,Jion 表 1,表 2,.来把几个表合并为一个表，二者不同在于 Union在合并时删除了各表中重复的元素，而后者仅是简单的合并；你还可以使用Flatten 表 把表中所有子表 抹平 合并成一个表，而 Patition 表，整数 n把表按每 n 个元素分段作为子表，集合成的表。如Flatten1,2,Sinx,dog,y表示 1,2,Sinx,y, 而 Partition1,2,Sinx,y,2把表每两个分段， 结果为 1,2,Sinx,y；还可以通过 Del
7、ete 表，位置 、Insert 表，位置 来向表中按位置插入或删除元素，如要删除上面提到的table 中的 aaa,你可以用 Deletetable,3,1来实现； Sort 表 给出了表中各元素的大小顺序，Reverse表 、 RotateLeft 表，整数 n、 RotateRight 表，整数 n可以分别将一个表进行翻转、左转n 个元素、右转 n个元素等操作， Length 表 给出了表第一个层次上的元素个数，Position 表，表达式 给出了表中出现该表达式的位置，Count 表，表达式 则给出表达式出现的次数。各种表的操作函数还有很多，这里就不再一一介绍了。三.图形函数Mathe
8、matica 的图形函数十分丰富， 用寥寥几句就可以画出复杂的图形， 而且可以通过变量和文件存储和显示图形，具有极大的灵活性。图形函数中最有代表性的函数为Plot 表达式， 变量，下限，上限 ，可选项 ， (其中表达式还可以是一个 表达式表 ，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限和下限确定了作图的范围；可选项可要可不要，不写系统会按默认值作图，它表示对作图的具体要求。例如PlotSinx,x,0,2*Pi,AspectRatio-1 表示在 0xx0x-x0时函数的极限Limitexpr,x-x0,Direction-1x- x0时函数的极限Limitexpr,x-x0, Dir
9、ection-1x- x0时函数的极限In1:=LimitSinxDx,x?0DOut1:=1. 微商和微分在 Mathematica 中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数 ).如果 f 是一元函数 ,Df,x 表示 df ( x) ;如果 f 是多元dx函数 ,Df,x 表示f .微商函数的常用形式如下 :xDf,xDf,x1,x2,计算偏导数fx计算多重导数 fx1x2nDf,x,n计算 n阶 导 数 n fOut1:=xHDLIn1:=Dxx,xx x1 + Log x下面列出全微分函数Dt 的常用形式及其意义 :Dtf全微分 dfDtf,x全导数 dfdxDtf,x1,x2,
10、多重全导数 df df. fOut1:=DtDdx1 dx2In1:=Dtx2+y22 x Dt x+ 2 yy. 不定积分和定积分1. 不定积分Integreate 函数主要计算只含有1“简单函数 ”的被积函数 . “简单函数 ”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下：Integratef，x计算不定积分f (x)dxIntegratef，x，y计算不定积分 dxf ( x, y)dyIntegratef，x，y，z计算不定积分dxdy f (x, y, z)dzIntegrate1x 2- 1, xIn1 ： =1H1LDLog- 1 + x-Log1
11、 + xOut1 ：=22DDIntegrate3 x2 + y, x,yDIn2 ： =x 3 y +x y2Out2 ：=22定积分计算定积分的命令和计算不定积分是同一个Integrate函数，在计算定积分时， 除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用N% 命令总能得到其数值解.Nintegrate 也是计算定积分的函数 ,其使用方法和形式和 Integrate 函数相同 .用 Integrate 函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate 函数计算定积分得到的是近似数值解 .计算多重积分时 ,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.Integratef
12、,x,a,bbf ( x)dx计算定积分aNIntegratef,x,a,bb计算定积分 af ( x)dxIntegratef,x,a,b,y,c,dbd计算定积分 adx cf ( x, y)dybdNIntegratef,x,a,b,y,c,d计算定积分adxcf ( x, y)dyIn1:=73CosD1D8DIntegrateCos x 2 + Sin x 3,x , 0, 1-Cos 3Sin2Out1:=64+D12D4DDIn2:=DD8NIntegrateCos x 2 +Sin x 3,x, 0, 1Out2:=0.9062658b38DIn3:=3a3Integratex
13、 + , x, b,a , y ,0, xOut3:=2ki3-3 y. 幂级数幂级数展开函数Series 的一般形式 :Seriesexpr,x,x0,n将 expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的级数Seriesexpr,x,x0,n,y,y0,m先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数用 Seriesn展开后 , 展开项中含有截断误差 O xIn1:=Series4x34xD5876DSin2 x ,x , 0,Out1:=2 x -+ O x315DIn2:=SeriesD8Df x, x , o, 3O x+ oDHL4-+2DHL-+6HLDHL-+f of ox o
14、1fox o21f3 o x o3Out2:=DD-8DIn3:=Ser esyDD218y233Cos xCos,x , 0, y, 0,yykD DD1+O y4+ -+O y 42+O x 4Out3:=i-2i24. 常微分方程求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下:Dsolveeqns,yx,x解 y(x) 的微分方程或方程组 eqns,x 为变量Dsolveeqns,y,x在纯函数的形式下求解NDsolveeqns,yx,x,xmin,xmax在区间 xmin,xmax 上求解变量 x 的数的形式下 求解常微分方In1:=DDD程和常微分方程组 eqns的数值解DSolv
15、ey xa y x , y x , x8DOut1:=yx ? ?a xDC 1In2:=DSolve8axDDDDDy xa y x , y 01 , y x , x8DOut2:=yx ? ?In3:=t8DDDD8DDDSolvex ty t , y tx t , x t , y t ,9D1-tID2t2 tOut3:=DDDDM? 1?- C 1+ ?x t?- tC 1+ ?2 tC1 -C2+ ?2 t C 2 ,2IDDDDDM=2y t ?C1 +C2 +? C2.线性代数1. 定义向量和矩阵函数定义一个矩阵 , 可用函数 Table 或 Array. 当矩阵元素能用一个函数
16、表达式时 , 用函数 Table 在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值 . 用函数 Range 只能定义元素为数值的向量 .Array 只能用于定义向量、 矩阵和张量 , 并规定矩阵和张量的元素下标从 1 开始 .Array 的一般形式 :Array 向量元素名 ,n,f定义下标从f 开始的有 n 个元素的向量, 当 f 是 1 时可省略 .Array 矩阵元素名 ,m,n定义 m行 n 列的矩阵 . 其中 : 矩阵元素名是一个标识符, 表示矩阵元素的名称, 当循环范围是 u,v,w时定义一个张量.Table 表达式 f, 循环范围 表达式 f 表示向量或矩阵元素的通项公式; 循环
17、范围定义矩阵的大小.循环范围的一般形式: 循环变量名 , 循环初值 , 循环终值 , 循环步长 .在 Array In1:=Out1:=In2:=Out2:=In3:=Out3:=In4:=Out4:=In5:=D88D或 Table的循环范围表示方法略有区别 . 请在下面的实例中注意观察 .Table ai, j ,i , 2 ,j ,28DD8DDa 1 , 1 , a 1, 2 , a 2, 1 , a 2 , 2(* 矩阵每一行元素用一对 括起来 *)8DU = Arraya, 2,28DD8DDa 1 , 1 , a 1, 2 , a 2, 1 , a 2 , 2DIdentityM
18、atrix3 (*IndentityMatrixn 生成 n 维矩阵 *)8 881, 0,0, 0,1,0,0,0, 1DiagonalMatrix8D1,2,3(* 生成对角元素为表元素的对角矩阵*)8 881, 0,0, 0,2,0,0,0, 3DTableForm% (*TableFormm 或 MatrixFormm 按矩阵形式输出 m*)100020Out5:=003一个矩阵可用一个变量表示 ,如 In2 所示 U 是一个矩阵 ,则 UI 表示 U 的第 I 行的 N 个元素 ;TransposeUj 表示 U 的第 J 行的 M 个元素 ;UI,j 或 aI,j 表示 U 的第
19、I 行第 J 列元素 ;Ui1,i2, ,ip,j1,j2, ,jq 表示由行为 i1,i2, ,ip 和列为 j1,j2, ,jq 组成的子矩阵 .2.矩阵的运算符号和函数表达式意义A+cA 为矩阵 ,c 为标量 ,c 与 A 中的每一个元素相加A+BA,B 为同阶矩阵或向量,A 与 B 的对应元素相加cAA 为矩阵 ,c 为标量 ,c 与 A 中的每个元素相乘U.V向量 U与V的内积A.B矩阵 A 与矩阵 B 相乘 ,要求 A 的列数等于 B 的行数DetM计算矩阵 M 的行列式的值TranseposeMTM的转置矩阵 (M 或M )InverseM1计算矩阵M 的逆矩阵( M )Eige
20、nvalusA计算矩阵A 的全部 (准确解 )特征值EigenvalusNA计算矩阵A 的全部 (数值解 )特征值EigenvectorsA计算矩阵A 的全部 (准确解 )特征向量EigenvectorsNA计算矩阵A 的全部 (数值解 )特征向量EigensystemA计算矩阵A 的所有 (准确解 )特征值和特征向量EigensystemNA计算矩阵A 的所有 (数值解 )特征值和特征向量3. 方程组求解函数在 Mathematica 中用 LinerSolveA,B, 求解满足 AX=B的一个解 . 如果 A 的行列式不为零 , 那么这个解是方程组的唯一解 ; 如果 A 的行列式是零 ,
21、那么这个解是方程组的一个特解 , 方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解组成 .NullSpaceA计算方程组AX=0的基础解系的向量表, 用 LinerSolveA,B和 NullSpaceA联手解出方程组AX=B的全部解 .Mathematica中还有一个美妙的函数RowReduceA, 它对 A 的行向量作化间成梯形的初等线性变换. 用 RowReduce可计算矩阵的秩 ,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作.解方程组函数意义RowReduceA作行的线性组合化简 A,A 为 m行 n 列的矩阵LinerSolveA,B求解满足 AX=B的一个解 ,A
22、为方阵NullSpaceA求解方程组 AX=0 的基础解系的向量表,A 为方阵111110-1131-13例: 已知 A=3213 ,计算 A 的秩 ,计算 AX=0的基础解系 .81,1, 1, 1,81,0, - 1, 1,83,1, - 1, 3,83,2, 1, 3;In2:=Out2:=81,0, - 1, 1,80,1, 2, 0,80,0, 0, 0,80,0, 0, 0(*显然 ,A 的秩是 2*)NullSpaceADIn3:=Out3:=8-1,0, 0, 1,81,-2, 1, 0 (*A的两个线性无关解 *)五.程序流程控制作为一种语言， Mathematica 提供了
23、分支、 循环、跳转等程序控制语句，如 Iftest,block1,block2 表明满足条件test，则执行语句块block1, 否则执行 block2 ；Switchexpr,test1,block1,test2,block2,. 表示如果表达式expr 的值等于第i 个 testi的值，则执行语句块blocki 。循环语句有For 赋初值，循环条件，增量语句，语句块 表示如果满足循环条件，则执行语句块和增量语句，直到不 满 足 条 件 为 止 ， Whiletest,block表 明 如 果 满 足 条 件test则 反 复 执 行 语 句 块block, 否 则 跳 出 循 环 ，Dob
24、lock,i,imin,imax,istep与前者功能是相同的。还有Gotolab,Labellab 提供了程序中无条件跳转，Continue 和Break 提供了继续循环或跳出循环的控制，Catch 语句块 1和 Throw 语句块 2提供了运算中对异常情况的处理。另外，在程序中书写注释可以用一对(*) 括起来，注释可以嵌套。六.其他以上是对Mathematica 语法的一些特点做了一个很粗略的介绍，如果同学们对Mathematica 感兴趣， 你最好还是亲自使用一下。上机的过程中，希望你注意以下几点1. 使用帮助， Mathematica 的帮助文件提供了 Mathematica 内核的基
25、本用法的说明，十分详细，可以参照学习。2. 你可以使用 ? 符号名 或 ?符号名 来获得关于该符号 (函数名或其他 )的粗略或详细介绍。 符号名中还可以使用通配符，例如?M* ，则系统将给出所有以M 开头的关键词和函数名，再如?For 将会得到关于For 语句的格式和用法的详细情况。3. 在 Mathematica 的编辑界面中输入语句和函数，确认光标处于编辑状态(不断闪烁 )，然后按 Insert 键来对这一段语句进行求值。如果语句有错，系统将用红色字体给出出错信息，你可以对已输入的语句进行修改，再运行。如果运行时间太长，你可以通过Alt+.(Alt+ 句号 )来中止求值。4. 对函数名不确定的，可先输入前面几个字母 (开头一定要大写 )，然后按 Ctrl+K ，系统会自动补全该函数名。关于 Mathematica 我们就暂时介绍到这里，由于水平有限，只能介绍一些基本用法，有兴趣的同学可以多上机，自己摸索，一定会有收获的。当然，计算机是为我们服务的，我们不是为了学习而学习，而是应该把它当成一种有力的工具，应用与我们的日常学习、工作和生活中。希望Mathematica 会为你将来的探索之路增添一份力量。七.应用例子量子一维、二维简谐振子问题量子一维简谐振子图像量子二维简谐振子图像
