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1、三角函数根底知识整理一 角的概念：1角的概念的推广“旋转形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开场时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点“正角与“负角“0角我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=-150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或 可以简记成意义：用“旋转定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 2“象限
2、角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个象限3终边一样的角 结论：所有与a终边一样的角连同a在内可以构成一个集合： 即：任何一个与角a终边一样的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.注意：(1) (2)a是任意角；(3)与a之间是“+号，如：-30，应看成+(-30)；(4)终边一样的角不一定相等，但相等的角，终边一定一样，终边一样的角有无数多个，它们相差360的整数倍二 弧度制：1 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度做单位来度
3、量角的制度叫做弧度制 如下列图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 2弧长公式：由公式： 比公式简单 即弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的积 3扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径三 三角函数的定义：1. 设是一个任意角，在的终边上任取异于原点的一点Px,y那么P与原点的距离2. 比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数.3. 突出探究的几个问题： 角是“任意角，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即但
4、凡终边一样的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值为函数值的函数而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域： 的定义域： R 的定义域：R 的定义域： 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)比值只与角的大小有关.4 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；余弦在第一、四象限为正；正切在第一、三象限为正.四 诱导公式：1必须熟记的两组诱导公式：诱导公式一其中: 用弧度制可写成 诱导公式二： 2. 诱导公式的变形规那么：奇变偶不变，符号看象限.诱导公
5、式三： 用弧度制可表示如下： 诱导公式四： 用弧度制可表示如下： 诱导公式五： 用弧度制可表示如下： 诱导公式六： 用弧度制可表示如下： 补充公式七： 用弧度制可表示如下： 补充公式八： 用弧度制可表示如下： 补充公式九： 用弧度制可表示如下： 五两角和与差的三角函数关系式：1两角和与差的三角函数关系式 2 推导公式：因为.所以sin2cos21(1)假设令sin，那么cos那么asinbcossinsincoscoscos或cos(2)假设令cos，那么sin.那么sinbcossincoscossinsin六二倍角公式：1.二倍角公式: ； ； ； 注意：二倍角公式的作用在于用单角的三角函
6、数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题 二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角的意义是相对的 二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式 4 公式，成立的条件是: 公式成立的条件是其他5 熟悉“倍角与“二次的关系升角降次，降角升次6 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用七万能公式：1万能公式证明：1 2 3八 三角函数的图象与性质：1正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，那么有，注：有向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线 2
7、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x0，2、余弦函数y=cosx，x0，2的图象几何法： 把y=sinx，x0，2和y=cosx，x0，2的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 3用五点法作正弦函数和余弦函数的简图描点法：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)1y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象一样2将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象yxo1-13也同样可用五点法作图
8、：y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)4定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作： ysinx，xR ycosx，xR5值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值16周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常
9、数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意：1 周期函数x定义域M，那么必有x+TM, 且假设T0那么定义域无上界；T0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A假设A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍纵坐标不变假设0那么可用诱导公式将符号“提出再作图决定了函数的周期3 相位变换: 函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当
10、0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左“减右)十 正切函数的图象与性质：1. 正切线：正切函数，且的图象，称“正切曲线余切函数ycotx，x(k，k+)，kZ的图象余切曲线正切函数的性质： 1定义域：，2值域：R 3当时，当时4周期性：5奇偶性：奇函数6单调性：在开区间，函数单调递增十一 正、余弦定理：1 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2RR为ABC外接圆半径2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角见图示a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:假设A为锐角时:假设A为直角或钝角时:3. 余弦定理： 4余弦定理可以解决的问题1三边，求三个角；2两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角5 三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力，要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力
