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1、上海九年级数学上知识总结1)上海九年级数学上知识总结相似三角形基本知识知识点一辛放缩与相似形 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比,选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别 是m、n,那么就说这两条线段的比是a： b=m： n （或;专）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b中。a叫做 比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位 长度。3. 比例：两个比相等的式子叫做比例，如貯4、比例外项：在比例专（或a： b=c： d）中a* d叫做 比例外项。5比例内项：在比例冷亏（或a： b = c： d）中b、c叫做 比例内项。6.第四比例项
2、：在比例冷亏（或/ b=c； d）中，d叫 b c的第四比例项。7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 X （或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。&比例线段：对于四条线段冬b. c. d,如果其中两条 线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即夕b a（或农b=C： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段,2反比性质：a cb d（把比的前项、后项交换）葡称比例线段。（2）比例性质（注意；在求线段比时，线段嵐位要统一，单位不统一应先化成同一单位）a仏i基本性质:（两外项的积等于两内项积）3.更比性质咬换比例的内项或外项）:-=4*（交换内项）c a彳亠（交换外项）b
3、d b a2上侗时交换内外项） c a注意4-合比性质,計汁字=宁（分子加（减分母，分母不变）b-a d-c发生同样和整变化岀例仍成立-如；h daca-bc-dci bc di实际上，比例的合比性质可扩展対：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不甕旦(b + d+ f +UHO),那么+ 二？nh + d + f +斗 n h注意:（1）此性质的证明运用了 41设左法”,这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（刃应用竽比性质时.要考虎到分母是否为零.）可利用分式性质将连等式的每一个比的師项与后项同时乘以一个数.再利用等比性质也成立.知识点三：黄金
4、分割1）定义：在线段ABf点C把线段昇分成两条线段3） AC 和 BC （ACBC）,女口果竺=BC，即 AC2=ABXBC,AB AC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中 AC =-AB 0.618 AB。22）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C 是线段AB的黄金分割点.作法：过点B作BDLAB使； 连结AD,在DA上截取DE=DB 在AB上截取AC=AE则点C就是所求作的线段AB的黄 金分割点.黄金分割的比值为：AC 5-1-.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄 金矩形。知识点四：平行线分
5、线段成比例定理（一）平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的由DE/ BC可得:AD AE 亠 BD EC 亠 AD 或 或DB EC AD EA ABAEAC延长线）所得的对应线段成比例.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角 形的第三边（即利用比例式证平行线）4定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直 线,所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比例5.平行线等分
6、线段定理： 三条平行线截两条直线,如果在一条直 线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段 也相等。三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE中BD/ CEAB AD上上BC二隹简记：下二下BC DEAB ADBC DE上上和推广：类似地还可以得到全二全和归纳:ED三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得 的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三 角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 于三角形的第三边.三角形
7、一边的平行线判定定理推论 如果一条直 线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的 同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 用符号语言表示：AD II BE II2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得CF .AB DE BC EF AB DE BC 一 EF AC 一 DF AC 一 DF的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等用符号语言表示:ADUBEUCF = aB=BC. DE 二 DF重心定义：三角形三条中线相交于一点，
8、这个交点叫做 三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定 相似。两个等边三角形一定相 似。两个直角三角形和两个等 腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相 似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比 例。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个 三角形的相似比。女口 ABC 与
9、DEF 相似，记作 ABCDEF。相似比为k。4）判定： 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理:判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相
10、似简述为：三边对应成比例，两三角形相似.直角三角形相似判定定理: .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相 似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也 相似。补充一：直角三角形中的相似问题:斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似射影定理：CD2=AD- BD，AC2=AD- AB,BC2=BD- BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四
11、：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三 角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线 与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角 形相似。相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）. 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方 锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2+b2=c21.如下图，在Rt ABC中，/ C为直角，则/ A的锐角三角函数为（Z A可换成/ B）:定义表达式取值范围关系正弦.AZA的对边sin A =
12、斜边. a sin A = c0 vsi nA 1（Z A为锐角）bsi n A = cosB cosA = sin Bsin2 A + cos2 A = 1余弦八ZA的邻边cos A =斜边cos A = b c0 v cosA 0 （Z A为锐角）sin A=cos（90 -A） cosA =sin（90 - A）3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 sin A = cosB由乂A +NB =90 ；cosA=si nB得 N b =90A4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。tan A =cot Bco
13、t A =ta n B由 A B =90 得.B =90 -. Atan A = cot(90 - A) cot A = tan(90 A)cot a不存在13306 、正弦、余弦的增减性：当0 : 90时，sin :-随的增大而增大，cos 随的增大而减小7、正切、余切的增减性：当0 0,与y轴交于正半轴；c v 0,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y = ax当a 0时，x = 0 ( y 轴)(0,0 )y =ax2 +k开口向上；X = 0( y 轴)(0, k)2y = a(x h )当a c0时
14、，开口向下。x = h(h,0)2y =a(x h ) +kx = h(h, k)y = ax2 +bx +cbx =-一2ab 4ac-b2(2a 4a )（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标Xi、X2,y = a(x _h f10. 几种特殊的二次函数的图像 特征如下：11. 用待定系数法求二次函数 的解析式（1）一般式:y = aX bx c已知图像上三点或三对 值，通常选择一般式.（2） 顶像的顶点或对称轴, 点式.通常选用交点式：yax - X1 X - x2.12.直线与抛物线的交点（1） y轴与抛物线y = ax bx c得交点为（0,C).占八、.已知图通常选择顶_ 2（2）
15、与y轴平行的直线x = h与抛物线y =axbx c有且只有一个交点（h , ah 2 bh-c).（3）抛物线与x轴的交点（xi,O）、（X2,0）二次函数ybx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 X1、x2,是对应一元二次方程2ax bx c = 0 的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点：=”0 ：=抛物线与X轴相交;有一个交点（顶点在 x轴上）= 丄抛物线与x轴相切;没有交点U u ：0：= 抛物线与X轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
16、标为k,则横坐标是2ax bxk的两个实数根.（5 ） 一次函数2kx n k = 0的图像l与二次函数y二ax bx c a = 0的图像g的交点，由方程组:y =kx ny X2 bx c 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时：二l与G有两个交点；方程组只有一组解时 =l与G只有一个交点；方程组无解时 =1与G没有交点.2*r（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax *bx*c与x轴两交点为A（X1,O ）, B（X2,0 ），由于捲、2x2是方程axbx 0的两个根，故X1 X2b,X1 X2aaAB = Xi _x2 = Xi _ x2 = X1 - x2第二部分典
17、型习题1. 抛物线y = x2+ 2x - 2的顶点坐标是()A. ( 2,- 2)B. (1 , - 2)C. (1,- 3) D.(- 1,- 3)2. 已知二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A. ab0, c0 B. ab0, c0 D. ab0,b 0B.a0,b0C .a 0,c 0D.a0,c 04 .如图，已知 ABC中，bc=8, bc上的高h =4 , d为bc上一点，EF / /BC，交ab于点e,交ac于点f(ef不过a、B),设E到BC的距离为x，则.def的面积y关于x的函数的图象大致为(5 .抛物线y=X -2x-3与x轴分别交于A、
18、B两点，贝U AB的长为6. 已知二次函数y= E +-1)x1与x轴交点的横坐标为xi、X2( Xi X2时，y 0 ；方程kX + (2k-1)X 1 = 0有两个不相等的实数根X1、X2 :X1 1 :J1+ 4k2X2 XLk，其中所有正确的结论是 (只需填写序号)7. 已知直线勺=敛 bb-J0与x轴交于点A,与y轴交于点B; 抛物线的解析式为(1 )若该抛物线过点 B,且它的顶点P在直线y = -2x b上，试确定这条抛物线的解析式;(2)过点B作直线BC丄AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线 y = _2x b的解析式.8. 有一个运算装置，当输入值为x时
19、，其输岀值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为 2,0, 1时，相应的输岀值分别为 5, -3,-4 .(1) 求此二次函数的解析式；(2) 在所给的坐标系中画岀这个二次函数的图象，并根据图象写岀当输岀值y为正数时输入值X的取值范围.9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变 化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？第三天12时这头骆驼的体温是多少 ？兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.24y =ax2+3a)x +410. 已知抛物线3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得 ABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.11. 已知抛物线 y= x2 + mx m+ 2.(1) 若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且 AB=5，试求m的值；(2) 设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且 MNC勺面积等于27,试求m的值.
