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1、第一章 立体几何初步1.柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形
2、成的几何体2. 空间几何体的表面积和体积：（1）侧面积公式： 直棱柱（为底面周长，为高） 正棱锥（为底面周长，为斜高） 正棱台（分别为上下底面的周长，为斜高） 圆柱（为底面半径，为高） 圆锥（为底面半径，为母线长） 圆台（分别为上下底面半径，为母线长）（2）体积公式： 棱柱（S为底面积，为高） 棱锥（S为底面积，为高） 棱台（分别为上下底面积，为高） 圆柱（S为底面积，r为底面半径，为高） 圆锥（S为底面积，r为底面半径，为高） 圆台（分别为上下底面积，为高）（3）球：球的表面积公式： 球的体积公式： （表示球的半径）球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R，截面圆的半径是r，
3、截面圆的圆心与球心的连线长为d，则：。3.空间几何体的三视图正视图（从前向后）；侧视图（从左向右）；俯视图（从上向下）.4.空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： ；原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。第二章 直线与平面的位置关系1.平面的基本性质： 公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在这个平面内。（判断直线是否在平面内） 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。（确定一个平面） 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3
4、：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（判断两平面是否相交） 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。（说明具有传递性）2. 空间中直线与直线之间的位置关系（1）空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。注意：两条异面直线所成的角；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。判断空间两条直线是异面直线的方法：a.平面外一点A与平面内一点B的连线和平面
5、内不过B的直线是异面直线；b.利用反证法，先假设两条直线平行或相交，再证出矛盾即可。3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（1）直线与平面有三种位置关系：直线在平面内 有无数个公共点直线与平面相交 有且只有一个公共点直线在平面平行 没有公共点注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a（2）两个平面的位置关系：相交（有一条公共直线）、平行（没有公共点）。4.直线、平面平行的判定定理和性质定理（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 (线线平行，则线面平行)（2）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交
6、直线与另一平面平行，则这两个平面平行。注：判断两平面平行的方法有三种：用定义（一般与反证法结合）；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行。（3）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 (线面平行,则线线平行)（4）面面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。注：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。5.直线与平面垂直的判定定理和性质定理（1）线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则
7、这两个平面垂直。（3）线面垂直性质定理1：垂直于平面的直线，则垂直该平面内的任意直线。（4）线面垂直性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。（5）面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。其它结论：（1）平行于同一个平面的两个平面平行。 （2）垂直于同一条直线的两个平面平行。（3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。（4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。 6.二面角（1）二面角概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形.二面角范围：0,2A B（2）二面角的记法：二面角
8、-或-AB-；（3）二面角的计算：在二面角-的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别做垂直于棱的射线OA和OB，则角AOB为二面角的平面角7.求距离和体积的方法（1）求距离：距离公式；勾股定理；反用体积公式等；（2）求体积：体积公式；等体积变换；割补法等；第三章 直线与方程1.直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。倾斜角的取值范围是01802.直线的斜率 （）；当倾斜角时，直线的斜率不存在。 过两点、的斜率公式：直线的方向向量，则直线的斜率为=.3.截距：直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距 ； 直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距 。4.中点坐标
9、公式：、两点的中点满足： 5.直线方程点斜式： 直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为一般式：（A，B不全为0）注意特殊的方程：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；6.两直线平行与垂直（1）两直线的平行位置关系（点斜式或斜截式）：平行：且 ； 垂直： （注：当直线的斜率不存在时，要特殊处理）（2）两直线的平行位置关系（一
10、般式）：直线， 平行： ； 重合：=垂直： 相交： （3）有关结论：与直线平行的直线方程可设为：（）与直线平行的直线方程可设为：（）与直线垂直的直线方程可设为：7.两条直线的交点 相交，交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合8.距离公式（1）两点间距离公式：设，则（2）点到直线距离公式：点到直线的距离 （3）两平行直线距离公式：已知两条平行直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为9.对称关系（1）点与点对称的坐标关系：点关于点的对称点是，则：；（2）点关于直线对称的坐标关系：设点，关于直线对称，则：；（3）特殊的对称：点关于原点对称的点的坐标为：；第四章 圆与方程1.圆
11、的方程：（1）标准方程：，圆心，半径为r；（2）一般方程：当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。2.点和圆的位置关系： （1）几何法：若点P与圆心C的距离为d，圆的半径为r，则：点在圆外；点在圆上； 点在圆内。（2）代数法：对于点和圆或，则：点在圆内点在圆上点在圆外3.直线与圆的位置关系：（1）几何法：直线与圆相离； 直线与
12、圆相切； 直线与圆相交；（2）代数法： 联立方程组，得 ，消去y得一元二次方程，则：直线与圆相离； 直线与圆相切； 直线与圆相交；Ard0B4.圆的性质（1）圆的切线的几何特征： 过切点的半径垂直切线； 圆心到切线的距离等于半径（）。（2）直线被圆截得的弦长：（即：半径、弦心距、半径长构成一个直角三角形。）5.切线方程计算（1）过圆外一点的切线方程：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】（2）过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y
13、-b)= r26.圆与圆的位置关系： 设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。注意：1.已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；2.圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点；三角形的相关性质：1.外心（垂直平分线）；内心（角平分线）；垂心（三条高）；重心（三条中线）；2.三角形的中位线平行于第三条边且等于第三条边的一半；3.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；4.等边三角形“三线合一”；四边形的相关性质：1.平行四边形对角线平方和等于四边的平方和；
