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1、2014河北省名校名师俱乐部高三模拟考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A=，集合B=-3，-2,0,1,3，则(CRA)B等于 A.-2，0，1 B.-3，3 C.0，1 D.-2,0，1，32已知复数z满足1-z, 则z的虚部为A-1 B- C1 D 3根据某市环境保护局公布20082013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是A. 300 B. 302.5 C. 305 D. 3104.已知 3sin2a=2cosa, 则cos(a-p
2、)等于A. B. C. D. 5已知满足不等式组,则的最大值与最小值的比值为A B2C D 6. 一个球的球心到过球面上A、B、C 三点的平面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为 A8p B C12p D7.在区间1,5上任取一个数m，则函数的值域为-6,-2的概率是A B C D8.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A. k4? B. k5? C. k6? D. k6?9. 一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：）,该组合体的体积为A. 423 B. 483 C. 563 D. 443 10. 已知函数 ,其中对 恒成立，且，则的单调递增区间是
3、A. B. C. D. 11.已知点F是的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于轴的直线与双曲线交于A，B两点，DABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是A3 B2C D 12函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数的取值范围是A-2, 1 B-1, 2 C-2，2 D(-2，3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知向量=(1, n), =(-1, n), 若2-与垂直，则正数n= 14设等比数列的前n项和为Sn ,若 则_.15设抛物线的焦点为F，准线为, P为抛物线上一点，PA ,A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60，那么|PF|=_.
4、16在斜三角形ABC中，角A、B、C 所对的边分别为 ,若，则= .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本题满分12分）在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）设 ，求数列的前n项和Sn . 18. (本小题满分12分)某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组.（）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（）演讲结束后，5
5、位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由. 19（本小题满分12分）如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1面ABC, ACBC，E分别在线段B1C1上，B1E3EC1，AC=BC=CC1=4.（）求证：BCAC1；（）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出点F的位置，并给出证明;若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）已知函数 (I)若无极值点，但其导函数有零点，求的值； () 若有两个极值点，求
6、的取值范围，并证明的极小值小于-21（本小题满分12分）已知圆C的圆心C（m, 0）, m3,半径为，圆C与椭圆E： 有一个公共点A（3,1），F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点.（）求圆C的标准方程；（）若点P的坐标为（4, 4），试探求斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程，若不能，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）【选修41：几何证明选讲】如图，O1与O2相交于A，B 两点，过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线，分别交O1、O2于点D、E，DE与AC相交于点P.求证
7、：（）ADEC； () 若AD是O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长. 23. (本小题满分10分) 选修44：极坐标和参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C： (a为参数)，直线: （）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；()求曲线C上的点到直线的最大距离.24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，且 ，求证：(）；(）数学试卷参考答案(文科)1A Ax|x2，(RA)B2，0，12C 由已知得1z(1z)iiiz，则z1i(1i)2(（1i）（1i）)i，故选C.3B 该组数据为290、295、300、305、305
8、、315共六个数据，所以其中位数为2(300305)302.5.4C 由3sin 22cos 得sin 3(1).因为2()，故cos()cos ）2(1)3(2).5B 约束条件对应的区域如图所示当直线z2xy过点A(2，2)时，z取得最大值6，当直线z2xy经过B(1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2，选B.6D 设球心为O，过O做OM平面ABC，垂足是M, MA，可得球半径是2，体积是3(32).7C 当x2时，y6；当x0或4时，y2.即m2，4时，函数yx24x2(0xm)值域为6，2，则所求概率为P51(42)2(1).8A k2，S4；k3，S11；k4，S26
9、；k5，S57，输出结果，判断框内填“k4？”9D 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为2(1)45、高为2的三棱柱组合而成，其体积V1462(1)45244（cm3）.10C 由f(x)|f(6()|f(6()1sin(3()1， (1)又由f(2()f()sin()0， (2)因为(0，2)，由(1)(2)可得6()，所以f(x)sin(2x6()，于是可求得增区间为C.11B 因为ABx轴，又已知ABE是直角三角形，且显然AEBE，所以ABE是等腰直角三角形所以AEB90.所以AEF45.所以AFEF.易知点A(c，a(b2)(不妨设点A在x轴上方)
10、，故a(b2)ac.即b2a(ac)，得c2ac2a20，即e2e20，解得e2，或e1(舍去)故选B.12C 欲使值域为R，则只需使texxa25能取遍所有正数即可，即t的最小值小于等于0即可tex1，t0解得x0，t0解得x0，所以函数texxa25在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，所以当x0时，t有最小值a24.由题意得a240，解得a2，213. 2ab(3，n)，2ab与b垂直，n230n.14.4(1)或1 由题可知6a32a24a4，6a1q22a1q4a1q3，a11，q2(1)或1，a31或a34(1).153(8) 在APF中，|PA|PF|，|AF|sin 60
11、4，|AF|3(8)，又PAFPFA30，过P作PBAF于B，则|PF|cos 30(|BF|)cos 30(|AF|)3(8).163 tan A(tan C)tan B(tan C)tan C(sin A(cos A)sin B(cos B)tan Csin Asin B(sin（AB）)cos Csin Asin B(sin2C)ab(a2b2c2)a2b2c2(2c2)1，变形得c2(a2b2)3.17解：(1)an为等差数列，设公差为d，由题意得(a4d)(a42d)(2d)(22d)8，解得d2或d3.若d3，则a2a42d2640，d2，an22(n4)102n.(6分)(2)由
12、(1)知bn()an(2(1)n5，Sn2(1)321(2(1)n(12分)18解：(1)由题意知：P68(4)17(1).设演讲比赛小组中有x名男同学，则68(17)4(x)，x1，演讲小组中男同学有1人，女同学有3人.把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种.其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P12(6)2(1).(7分)(2)(x)
13、15(1)(6971727375)72，(x)25(1)(7071717375)72，s1(2)5(1)(6972)2(7172)2(7272)2(7372)2(7572)24，s2(2)5(1)(7072)2(7172)2(7172)2(7372)2(7572)23.2.因此第二个演讲的同学成绩更稳定.(12分)19解：(1) AA1面ABC， BC面ABC，BCAA1.（1分）又BCAC，AA1，AC面AA1C1C，AA1ACA，BC面AA1C1C，（3分）又AC1面AA1C1C，BCAC1.（4分）(2)(法一)当AF3FC时，FE平面A1ABB1.（7分）理由如下：在平面A1B1C1内
14、过E作EGA1C1交A1B1于G，连结AG.B1E3EC1，EG4(3)A1C1，又AFA1C1且AF4(3)A1C1，AFEG且AFEG，四边形AFEG为平行四边形，EFAG，（10分）又EF面A1ABB1，AG面A1ABB1，EF平面A1ABB1.（12分）(法二)当AF3FC时，FE平面A1ABB1.（9分）理由如下： 在平面BCC1B1内过E作EGBB1交BC于G，连结FG.EGBB1，EG面A1ABB1，BB1面A1ABB1，EG平面A1ABB1.B1E3EC1，BG3GC，FGAB，又AB面A1ABB1，FG面A1ABB1，FG平面A1ABB1.又EG面EFG，FG面EFG，EGF
15、GG，平面EFG平面A1ABB1.（11分）EF面EFG，EF平面A1ABB1.（12分）20解：(1)由题意x0，f(x)2ax2x(1)x(2ax22x1).f(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f(x)同号，故a0，且2ax22x10的0，由此可得a2(1).(4分)(2)由题意，2ax22x10有两不同的正根，故0，a0，解得：0a2(1).设2ax22x10的两根为x1，x2，不妨设x10，而在区间(x1，x2)上，f(x)0，故x2是f(x)的极小值点因为在区间(x1，x2)上f(x)是减函数，如能证明f(2(x1x2)2(3)，则更有f(x2)1时单调递减，而g(1)0
16、，因此g(t)0，即f(x)的极小值f(x2)2(3).(12分)21解：(1)由已知可设圆C的方程为(xm)2y25(m3)，将点A的坐标代入圆C的方程，得(3m)215，即(3m)24，解得m1或m5，m3，m1.圆C的方程为(x1)2y25.(4分)(2)直线PF1能与圆C相切依题意设直线PF1的方程为yk(x4)4，即kxy4k40，若直线PF1与圆C相切，则k21(|k04k4|)，4k224k110，解得k2(11)或k2(1)，当k2(11)时，直线PF1与x轴的交点横坐标为11(36)，不合题意，舍去，当k2(1)时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4，F1(4，0)，F2
17、(4，0)，由椭圆的定义得：2a|AF1|AF2|56，a3，即a218，b2a2c22，直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x2y40，椭圆E的方程为18(x2)2(y2)1.(12分)22解：(1)连结AB，AC是O1的切线，BACD.又BACE，DE，ADEC.(4分)(2)PA是O1的切线，PD是O1的割线，PA2PBPD.62PB(PB9)，PB3.在O2中，由相交弦定理得PAPCBPPE.PE4，AD是O2的切线，DE是O2的割线，AD2BDDE916，AD12.(10分)23解：(1)将C转化为普通方程是3(x2)y21，将l转化为直角坐标方程是xy40.(4分)(2)在3(x2)y21上任取一点A(cos ，sin )，则点A到直线l的距离为d2(3cos sin 4|)2(|2sin（60）4|)，它的最大值为3.(10分)24证明：（1）ab(2(ab)24(1)，当且仅当a=b=2(1)时等号成立,ab(1)4.a2(1)b2(1)ab(2)8，当且仅当ab2(1)时等号成立，a2(1)b2(1)8.(5分)（2）a(1)b(1)ab(1)a(1)b(1) +a(1)b(1) =2(ab)(a(1)b(1)=4+2(a(b)b(a)4+4b(a)=8,当且仅当ab2(1)时等号成立，a(1)b(1)ab(1)8.(10分)
