广东省惠州市高三第二次调研考试 理科数学试题及答案1.doc

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1、惠州市2015届高三第二次调研考试 数 学 试 题 (理科) 2014.10 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束

2、后,将答题卡一并交回参考公式:如果事件互斥,则 如果事件相互独立,则一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.1设集合,集合,则()A B C D2. 复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3双曲线的实轴长是()A2 B2 C4 D44设向量,则下列结论中正确的是()A B C D与垂直5为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为,众数为,平均值为,则()A BC D6. 设平面与平

3、面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知,满足约束条件,若的最小值为1,则()A. B. C D8. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么,各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数 (表示不大于的最大整数)可以表示为()AB C D二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分每小题5分,满分30分)(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答9已知,则不等式的解集为 10曲线在点处的切线方程为

4、 11展开式中的常数项为 12锐角中,角所对的边长分别为,若,则角等于 13在正项等比数列中,则满足的最大正整数的值为_(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分14(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则_.15(几何证明选讲)如图所示,的两条切线和相交于点,与相切于两点,是上的一点,若,则_.(用角度表示)三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16(本题满分12分)设向量,.(1)若,求的值;(2)设函数,求的最大值17(本题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况

5、,随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量;(2)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列;(3)从该流水线上任取件产品,求恰有件产品的重量超过克的概率18(本题满分14分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,底面.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值19(本题满分分)设数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对一切正整数,有.20(本题满分14分)如图,已知椭圆:,其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂

6、线与轴和轴分别交于两点,且、构成等差数列.(1)求椭圆的方程;(2)记的面积为,(为原点)的面积为试问:是否存在直线,使得?说明理由21.(本题满分分)已知,函数.(的图像连续不断)(1)求的单调区间;(2)当时,证明:存在,使;(3)若存在均属于区间的,且,使,证明.惠州市2015届高三第二次调研考试 理科数学答案与评分标准 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1【解析】本题考查集合的基本运算,意在考查考生对集合概念的掌握由,解得,所以,又,所以,故选A.2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义,复数z在复平面上对应的点的坐标为,位于第二象限3【解析】本题考查双曲线

7、方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为,所以.4【解析】;,故垂直5【解析】由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即5.5,5出现的次数最多,故5,5.97于是得.6【解析】若,又,根据两个平面垂直的性质定理可得,又因为,所以;反过来,当时,因为,一定有,但不能保证,即不能推出.7【解析】本题考查线性规划问题,属于基础题由已知约束条件,作出可行域如图中ABC内部及边界部分,由目标函数的几何意义为直线l:在轴上的截距,知当直线l过可

8、行域内的点时,目标函数的最小值为1,则。8【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系,用取整函数 (表示不大于的最大整数)可以表示为二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分每小题5分,满分30分)第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分9 10 11 12 1314 15559【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法,意在考查学生的分类讨论及化归

9、能力及运算能力由,可得或,解得,所以原不等式的解集为10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。由,则.所以,即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0),所以切线L的方程为. 一般方程为 .11【解析】本题考查二项式定理,意在考查考生的运算能力,令,得,故常数项为.12【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程,意在考查考生的转化能力与三角变换能力由正弦定理得,可化为,又,所以,又为锐角三角形,得.13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力设等比数列的公比为由可得即所以,所以,数列的前项和,所以,由可得,由,可求得的最大值为

10、12,而当时,不成立,所以的最大值为12.14【解析】由可得圆的直角坐标方程为,圆心点的直角坐标为,所以.15【解析】如图所示,连接,则.故,.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16(本题满分12分)解:本题考查平面向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质(1)由, . (1分) , .(2分) 及,得. 又,从而, .(4分) 所以 .(6分) (2) , .(9分) 当时, 所以当时,取得最大值1 .(11分) 所以的最大值为. .(12分)17(本题满分12分)解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为(件) .(2

11、分)(2)的可能取值为0,1,2. .(3分) .(4分) .(5分) .(6分)012PY的分布列为 .(7分)(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.(8分) 令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量, 则, .(10分) 故所求概率为.(12分)18(本题满分14分)解:(1)证明:因为, 由余弦定理得. .(2分) 从而,故. .(3分) 面面,.(4分) 又 所以平面. .(5分) 故. .(6分)(2)如图,以D为坐标原点,射线DA,DB,DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz, 则, .(8分)设平面PAB的法向量为,则即因此可

12、取 .(10分)设平面PBC的法向量为,则可取 .(12分)则故钝二面角APBC的余弦值为. .(14分)注:第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得4分,求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情给分。19(本题满分分)解:本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力(1)(解法一) 依题意,又,所以 (2分) 当, ,两式相减得整理得 ,即, (6分)又,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以所以 (8分)(解法二) , ,得,

13、.(2分) 猜想 .(3分) 下面用数学归纳法证明: (1)当时,猜想成立; (2)假设当时,猜想也成立,即 .(4分) 当时,= ,.(5分) 时,猜想也成立 .(6分) 由(1),(2)知,对于,猜想成立。 ,当,也满足此式,故 .(8分)(2)证明:当; (9分)当; (10分)当, (12分)此时综上,对一切正整数n,有 (14分)20(本题满分14分)解:(1)因为、构成等差数列, 所以,所以. (2分) 又因为,所以, (3分) 所以椭圆的方程为. (4分)(2)假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直 设方程为 (5分)将其代入,整理得 (6分)设,所以 故点的横坐标为所以 (

14、8分)因为 ,所以 , 解得 ,即 (10分)和相似,若,则 (11分)所以 , (12分) 整理得 (13分) 因为此方程无解,所以不存在直线,使得 (14分)21.(本题满分分)解:(1) .(1分)令,解得 .(2分)当变化时,的变化情况如下表:0递增极大值递减.(3分) 所以,的单调递增区间是,单调递减区间是.(5分)(2)证明:当时,由(1)知在内单调递增,在内单调递减令 .(6分)由于在内单调递增,故,即.(7分)取,则.所以存在,使,即存在,使 .(9分)(说明:的取法不唯一,只要满足,且即可)(3)证明:由及(1)的结论知,从而在上的最小值为, .(10分)又由,知 .(11分)故即 .(13分)从而 (14分):高考资源网()版权所有:高考资源网()

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