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1、宿迁市2015届高三年级摸底考试数学试题2014.11数 学总体印象：本次考试是市2015届第一次市统测，也是摸底考试，试题充分体现了摸底的特点，试卷立足基础，总体平稳，注意知识点的覆盖，注重重点知识测试，突出基本方法，加强思维和计算能力考查，难易适中，区分度、信度较高，题型略有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势，顺应潮流。试题评析：一、填空题：第15、9、11题难度系数都在0.8以上，属简单题，第6、7、8、10、12题难度系数在0.60.8之间，属中档题，第13、14题难度系数在0.4以下，属难题1已知集合，则= 2若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是 3若采用系统抽样方法从420人中
2、抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，则抽取的人中，编号在区间内的人数是 S2i1WhileS200ii2SSiEndWhilePrinti（第4题图）4在如图所示的算法中，输出的的值是 5已知是等差数列，若，则的值是 6若将甲、乙两个球随机放入编号为，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是 7在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是 (第10题图)8若，则的值是 9若，是实数，则的最大值是 10如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是 11设函数是定义在上的奇函数，当时，则关于的不等式的解集是
3、(第13题图)DCBA12已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 13如图，已知中，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是 14已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知的内角的对边分别为， （1）若，求的值；（2）若，求的值(第16题图)PBCAD16如图，在四棱锥中，底面是菱形，且（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：17如图是一个半圆形湖面
4、景点的平面示意图已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.(第17题图)（）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域； （）求观光路线总长的最大值. 18已知函数（其中是自然对数的底数），（1）记函数，且，求的单调增区间；来源:Zxxk.Com（2）若对任意，均有成立，求实数的取值范围 19如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；(第19题图)（3）
5、试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由20已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，若，（1）求；（2）若数列Mn满足条件： ，当时，其中数列单调递增，且，来源:学科网ZXXK试找出一组，使得；证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方数学 附加题部分21 B. 已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A21C.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，点，分别在棱，上，且，
6、 （1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值FEB1ACBAA（第22题图）23已知数列的各项均为正整数，对于任意nN*，都有 成立，且（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并给出证明数学参考答案与评分标准数学 必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1）
7、由余弦定理得， 3分因为，所以，即 5分解之得，（舍去）所以. 7分（2）因为， 所以 9分 11分(第16题图)PBCADO所以 14分16（1）连接AC，交BD于点O，连接PO 因为四边形ABCD为菱形，所以 2分 又因为，O为BD的中点， 所以 4分 又因为 来源:学科网ZXXK所以，又因为 所以7分（2）因为四边形ABCD为菱形，所以 9分 因为 所以 11分又因为，平面平面 所以 14分17(1)由题意知， 2分， 5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以 ， 7分(2)记,则， 9分令，得， 11分列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极
8、大值，这个极大值就是最大值，13分即， 答：观光路线总长的最大值为千米 14分18（1）因为，所以， 2分令，因为，得或， 5分所以的单调增区间为和； 6分（2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，8分所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，11分当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得 13分当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以， 15分所以实数的取值范围为 16分19（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，1
9、分又点在椭圆上，所以，2分联立，解得 3分所以所求圆的方程为 4分（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得6分同理，7分所以是方程的两个不相等的实数根，8分因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 10分（3）是定值，定值为36，11分理由如下：法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得12分所以，同理，得，13分由，所以来源:学|科|网 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即， 12分因为在椭圆C上，所以， 即， 13分所以，整理得，所以， 所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分20（
10、1）设数列的首项为，公差为，由，得， 2分解得，所以4分（2）因为，若，因为，所以，此方程无整数解； 6分若，因为，所以，此方程无整数解；8分若，因为，所以，解得，所以，满足题意10分 由知，则，一般的取， 13分此时，则，所以为一整数平方因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方16分数学部分21【选做题】A(选修41：几何证明选讲)因为BE切O于点B，所以， （第21A题图）因为，由余弦定理得4分又因为，所以，8分所以 10分 B（选修42：矩阵与变换）设矩阵，这里，来源:学科网ZXXK因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 4分又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 6分根据，则有
11、8分从而所以 10分C（选修4-4：坐标系与参数方程）由得两式平方后相加得， 4分因为曲线是以为圆心，半径等于1的圆得即曲线的极坐标方程是 10分D（选修45：不等式选讲）因为 5分所以原不等式解集为R等价于 所以所以实数的取值范围为 10分22建立如图所示的空间直角坐标系（1）因为AB=AC=1，3，所以各点的坐标为,， 2分因为,，所以所以向量和所成的角为，所以异面直线与所成角为 4分zyxFEB1ACBAA（2）因为，所以 设平面的法向量为，则，且即，且令，则所以是平面的一个法向量 6分又，则，又因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得， 10分23（1）因为 ，当时，由，即有，解得因为为正整数，故 2分当时，由，解得，所以 4分（2）由，猜想：5分下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立6分2假设成立，则， 由条件得，所以， 8分所以 9分因为，又，所以即时，也成立由1，2知，对任意， 10分
