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1、河南省开封高级中学等22校2015届高三天一大联考(一)理科数学试卷【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设计合理。整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试
2、题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】(1)已知集合A=，B，则（ ）A. B. C. D.【知识点】指数函数与对数函数；集合的交集.A1,B6,B7【答案解析】C解析：解：由题可知，所以正确选项为C.【思路点拨】根据指数不等式与对数不等式分别求出x的取值，然后求出交集. 【题文】(2)已知复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 ( )A2 B. 2 C.1 D.-1【知识点】复数
3、的概念.L4【答案解析】A解析：解：由题可知，又因为复数为纯虚数，所以a-2=0【思路点拨】根据复数的概念对复数进行化简，再利用分母实数化求出实部与虚部，最后求出结果. 【题文】(3)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为A. B. 2 C. D. 【知识点】等比数列；椭圆；双曲线.D3,H5,H6【答案解析】C解析：解：根据条件可知，当，所以正确选项为C.【思路点拨】根据条件可求出m，分别求出不同情况下的离心率. 【题文】(4)下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是 （ ）A. B. C. D.【知识点】函数的奇偶性，单调性.B3,B4【答案解析】B解析：解：为奇函数，在R
4、上单调递增，也是奇函数，在R上单调递增，所以只有B选项正确.【思路点拨】利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行分析求解即可. 【题文】(5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a、b为数字0-9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为，得分的方差分别为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.【知识点】统计.I4【答案解析】C解析：解：由题计算可知【思路点拨】根据平均数的概念与方差的概念分别计算出两组数据的特征数，然后进行比较即可. 【题文】(6)设等差数列的前n 项和为，若则正整数k=（ ）A.10 B.11 C.1
5、2 D.13【知识点】数列的概念.D2【答案解析】D解析：解：解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=-3，解得k=13故答案为：13【思路点拨】根据数列的概念直接求解. 【题文】(7)执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是 （ ）A. B. C. D.【知识点】程序框图.L1【答案解析】解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=-21-22-2n+1的值，输出S=-126，跳出循环的n值为6，判断框内的条件应为n5或n6故选：B【思路点拨】算法的功能是求S=-21-22-2n+1的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而确定判断框内的条件【题文】 (8)一个几何体的三视
6、图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A48- B. C. D.【知识点】三视图.G2【答案解析】C解析：解：由题意可知几何体为长方体内挖去一个圆柱，所以根据条件可知几何体的体积为，所以C选项正确.【思路点拨】根据三视图可抽象出几何体的形状，再利用体积公式进行计算.【题文】(9)若变量x,y满足约束条件则Z=2x-y的最大值为（ ）A.2 B.5 C.1 D.4【知识点】线性规划.E5【答案解析】B解析：解：由题可知目标函数Z的最大值在处取得，代入可得Z=【思路点拨】由线性规划可知目标函数的可行域，再根据目标函数可知最大值取得的位置. 【题文】(10)已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.两个函
7、数的图像均关于点成中心对称B. 的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得的图像C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同【知识点】三角函数的化简；三角函数对称中心；三角函数的单调区间；三角函数的图像的移动.C3,C4.【答案解析】C解析：解：由题可知；，由函数的性质可知为的对称中心，不是的对称中心，的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位的图像，与不同，的周期为，的周期为.所以只有C为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.【题文】（11）抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，又点A，则的取值范围是（ ）A. B.
8、 C. D.【知识点】直线与圆锥曲线.H8【答案解析】A解析：解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为B，则|PF|=|PB|，抛物线y2=4x的焦点为F（-1，0），点A（-1，0），设过A抛物线的切线方程为y=k（x+1），代入抛物线方程可得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，=（2k2-4）2-4k4=0，k=1故答案为：【思路点拨】把已知转化成直线与抛物线相切有解的问题即可解决. 【题文】(12)若定义在R上的函数满足且当时，则函数在区间上的零点个数为 （ ）A.4 B.8 C.6 D.10【知识点】导数与函数的单调性.B12【答案解析】C解析：解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=
9、f（x），f（2-x）=f（x），函数是偶函数，且图象关于x=1对称，函数f（x）=xex的定义域为R，f（x）=（xex）=xex+x（ex）=ex+xex令f（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=-1列表由表可知函数f（x）=xex的单调递减区间为（-，-1），单调递增区间为（-1，+）当x=-1时，函数f（x）=xex的极小值为，y=|xex|，在x=-1时取得极大值：，x（0，+）是增函数，x0时，两个函数图象有5个交点，x0时，两个函数图象有1个交点两个函数图象共有6个交点即函数H（x）=|xex|-f（x）在区间-3，1上有4个零点故答案为：6【思路点拨】利用导数来判
10、定函数的单词性，根据函数的性质求交点的个数.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】(13)已知向量，则实数的值为 【知识点】向量的坐标运算.F2【答案解析】2解析：解：设由向量的运算可知，【思路点拨】根据向量的坐标运算找到向量之间的关系.【题文】 (14)的展开式中含项的系数为，则的值为 【知识点】二项式定理；定积分.J3,B13.【答案解析】解析：解：由二项式定理可知的系数为，所以积分的值为.【思路点拨】利用二项式特定项的求法表示出的系数，再求出a的值，再
11、求积分的值.【题文】 (15)三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 【知识点】球的表面积公式.G8【答案解析】解析：解：由题可知球的直径为，半径为，【思路点拨】根据几何体的条件求出外接球的半径，利用球的表面积公式计算. 【题文】(16)已知函数，若数列满足，数列的前m项和为，则 【知识点】等差数列.D2【答案解析】804解析：解：解析：由题设条件得:由此归纳得，所以【思路点拨】根据解析式求出数列的性质，按数列的性质求出最后结果.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】(17)(本小题满分12分)在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。(I)求的值.(II
12、)若，求a和c.【知识点】正弦定理；余弦定理；两角和与差的展开式.C5,C8【答案解析】解析：解：（）由正弦定理得又，所以，即，所以， 即，又，所以.（）由得，又，所以.由，可得，所以，即，所以.【思路点拨】由正弦定理与两角和与差的展开式进行计算；根据余弦定理求出边长. 【题文】(18)(本小题满分12分)某品牌汽车的4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示： 已知分3期付款的频率为0.15，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率.（I）求事件A：“购买该
13、品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（II）用X表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望【知识点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K5,K6【答案解析】解析：解：（）由，得，因为，所以，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率（）记分期付款的期数为,依题意得，因为的可能取值为,并且，. 所以的分布列为所以的数学期望为（万元）.【思路点拨】由题意求出事件A的概率；根据条件列出分布列利用公式求变量的数学期望. 【题文】(19)(本小题满分12分)如图，正四棱锥的高为3，底面边长为2，E是棱PC的中点，过AE作平面与棱PB、PD分别交于点M、N（
14、M、N可以是棱的端点）.(I)当M是PB的中点时，求PN的长;(II)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.【知识点】正四棱锥；向量求直线与平面所成的角G7,G10.【答案解析】解析：解：（）当是的中点时，.因为平面，所以平面，所以.又，所以、两点重合.所以.（）解法一：连接、交于点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则令，得设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【思路点拨】根据线段的长度，利用勾股定理求值；建立空间坐标系，求出法向量，求出夹角【题文】(20)(本小题满分12分)定圆M：，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.（I）求轨迹
15、E的方程；（II）设点A，在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线AB的方程【知识点】椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系H5,H8【答案解析】解析：解：（）因为点在圆内，所以圆内切于圆.因为，所以点的轨迹为椭圆，且,所以，所以轨迹的方程为.（）（i）当为长轴（或短轴）时，依题意知，点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时.（ii）当直线的斜率存在且不为时，设其斜率为，直线的方程为，联立方程得所以 .由知，为等腰三角形，为的中点，所以直线的方程为，由解得，由于，所以，（11分）当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是.因为，所以面积的最小值为，此时直线的方程为或.【思路点拨
16、】根据定义求出椭圆方程，利用直线与椭圆的联立方程讨论面积【题文】（）（本小题满分分）已知函数且的图像在外的切线方程为，其中为自然对数的底数（I）讨论的极值情况；（II）当时，求证：【知识点】基本初等函数的导数；指数函数与对数函数；导数证明不等式B6,B7.B11【答案解析】解析：解：() 函数的定义域为， 当时，在上为增函数，没有极值；当时，若，则；若，则,存在极大值，且当时，.综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，. () 函数的导函数，.，.当时，令，则， ，且在上为增函数，设的根为，则，即，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数， ，由于函数在上为增函数，.【思路点拨】根据
17、导数讨论函数的极值问题，构造函数证明不等式请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.【题文】（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D,过点B作圆O的切线，与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P. （）求证：BF=EF; （）求证：PA是圆O的切线. 【知识点】几何证明选讲. N1【答案解析】（）略；（）略. 解析：（） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以，又因为，所以，可知， ，所以，所以，因为是的中点，所以，
18、所以是的中点，. （5分）（）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为，所以是圆的切线.（10分）【思路点拨】（）易得，从而得， ，所以，所以，因为是的中点，所以，所以是的中点，.（）即证,即证在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为所以是圆的切线.【题文】（23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，是过定点P（4,2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C的极坐标方程为.（）写出直线的参数方程
19、，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线相交于不同两点M、N,求的取值范围.【知识点】极坐标与参数方程. N3【答案解析】（）为参数,; （） 解析：（）直线的参数方程为为参数.（2分）因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（4分）（）将代入中，得，则有（6分）所以.又，所以，（8分）由得，所以.（10分）【思路点拨】（）设直线上任一点M,PM=t，则直线的参数方程为为参数.（）把直线的参数方程代入圆的普通方程得则有，所以.又，所以，所以，由得，所以. 【题文】(24) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式的解集为A.（）若a=1，求A;（）若A=R,求a的取值范围.【知识点】含绝对值的不等式. N4【答案解析】（）或; （）解析：（）当时,原不等式化为, 得；当时,原不等式化为,得；当时，原不等式化为,得，综上，或.（5分）（）当时,成立，所以此时.当时, ，得或,在x-2上恒成立，得.综上，的取值范围为.（10分） 【思路点拨】（）分段讨论解不等式；（）通过对不等号右边式子的符号的讨论，确定实数a的取值条件，最后求它们的交集即可.
