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1、2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分1已知，则_ _2若实数满足，则的最小值为 3设是虚数单位，复数满足，则 4函数的反函数 5若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 6若正四棱柱的底面边长为，高为，则异面直线与所成角的大小是_（结果用反三角函数值表示）7设数列的前项和为，若，则的通项公式为 8若全集，不等式的解集为，则= 9已知圆，方向向量的直线过点，则圆上的点到直线的距离的最大值为 10如图：在梯形中，且，与
2、 相交于，设，用表示，则= 11已知函数，将的图像向左平移（）个单位后得到函数的图像若的图像上各最高点到点的距离的最小值为，则的值为 12已知函数，其中当时，的零点依次记作，则 13在平面直角坐标系中，对于函数的图像上不重合的两点，若关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”（规定与是相同的“奇点对”）函数的“奇点对”的组数是 14设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分15 “”是“实系数一元二次方程有虚数根”的（ ）（A）充分非必要条件
3、（B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件16已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出的是 （ ） （A）且 （B）且 （C）且 （D）且17某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有类，分别编号为，买家共有名，分别编号为若，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A）（B）（C） （D） 18对于方程为+=1的曲线给出以下三个命题：（1）曲线关于原点中心对称；（2）曲线既关于轴对称,也关于轴对称，且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线上，则四边形MNP
4、Q每一条边的边长都大于2其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分已知函数，且 （1）求的值；（2）若，求20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数（1）若函数为奇函数，求的值； （2）若函数在上为减函数，求的取值范围21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分如图所示，某传动装置
5、由两个陀螺组成，陀螺之间没有滑动每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且的轴相互垂直，它们相接触的直线与的轴所成角若陀螺中圆锥的底面半径为 （1）求陀螺的体积；（2）当陀螺转动一圈时，陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点，求与之间的距离22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知椭圆（常数）的左顶点为，点，为坐标原点（1）若是椭圆上任意一点，求的值；（2）设是椭圆上任意一点，求的取值范围；（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由23(本题满分18分) 本题共有3个
6、小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”例如数列：满足，则其序数列为（1）写出公差为的等差数列的序数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列、的通项公式分别是()，()，且的序数列与的序数列相同，求实数的取值范围；（3）若有穷数列满足，且的序数列单调递减，的序数列单调递增，求数列的通项公式理科参考答案一、 填空题：（每题4分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、 选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、
7、 解答题19、解：（1），.2; .4（2），.6，.8又， .10.1220、解：（1）对一切的成立，.4 所以.6（2）若，则函数在单调递增（舍）.8当时，令，.9则函数在上单调递减.10所以，.13即.1421、解：（1）设陀螺圆锥的高为，则，即.2得陀螺圆柱的底面半径和高为.3.5.7.8（2）设陀螺圆锥底面圆心为，则，.10得.12在中，.1422、解：（1），得.2，即.4（2）设，则.5 .6由，得.7 当时，最大值为；.8当时，最小值为；.9即的取值范围为.10（3）（解法一）由条件得，.11平方得, 即.12.13=.15故的面积为定值.16（解法二）当直线的斜率不存在时，易得的面积为.11当直线的斜率存在时，设直线的方程为.12由，可得，又，可得.13因为，.14点到直线的距离.15综上：的面积为定值.1623、解：(1)当时，序数列为；.2当时，序数列为.4(2)因为，.5当时，易得，当时，又因，即，故数列的序数列为，.8所以对于数列有，解得：.10(3)由于的序数列单调递减，因此是递增数列，故，于是，而，所以，从而， (1) .12因为的序数列单调递增，所以是递减数列，同理可得，故 (2) .14由(1)(2)得：.15于是 .16.17即数列的通项公式为().18徐汇区高三数学（理科） 本卷共4页 第8页
