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1、北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末试卷 高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1圆的半径为( )A. B. C. D. 2双曲线的实轴长为( )A. B. C. D. 3若，且，则( )A. B. C. D. 4命题“,”的否定为( )A. ，B. ， C. ，D. ， 5 “”是“方程表示圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6关于直线以及
2、平面,下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则 C. 若，且，则D. 若，则7已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， ，则( ) A. B. C. D. 8某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）A. B. C. D. 9已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线FDABCA1B1C1D1EG10. 已知正方体，点，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： 对于任意给定的点，存在点，使得； 对于任意给定的点，存在点，使得； 对于任意给定的点，存在点，使得； 对于任意给定的点，存在点，使得其中
3、正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 已知抛物线的准线为，则其标准方程为_.12. 命题“若，则”的否命题是：_.13. 双曲线的离心率为_；渐近线方程为_.DABCA1B1C1D114. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_.15. 如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_；二面角的大小为_.16. 已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论： 存在点，使得为等边三角形； 不存在点，使得为等边三角形；存在
4、点，使得；不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）ABCDNPM如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点. （）求证：平面； （）求证：.18.（本小题满分13分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（）求圆的方程；（）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.19.（本小题满分13分）ABCA1B1C1E如图，在直三棱柱中，是中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，为等边三角形，且平面平面，为中
5、点（）求证：；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；ABECDP（）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由 21.（本小题满分13分）已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.22.（本小题满分14分）已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（）若所在的直线方程为，求的长；（）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4
6、0分. 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 12. 若，则. 13. ，14. 15. 16. 注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出或得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.ABCDNPMQ17. 证明：（）取中点，连结.因为 是中点，所以 . 2分又是中点，,所以 ，四边形是平行四边形. 4分所以 . 5分因为 平面，平面，所以 平面. 7分（）因为 平面,所以 . 8分又 是矩形，所以 . 9分所以 平面, 10分所以 . 11分又 , 所以
7、. 13分18. 解：（）设圆的圆心坐标为，依题意，有， 2分即，解得， 4分所以圆的方程为. 6分（）依题意，圆的圆心到直线的距离为， 8分所以直线符合题意. 9分另，设直线方程为，即，则， 11分解得， 12分所以直线的方程为，即. 13分综上，直线的方程为或.19.ABCA1B1C1Exyz（）证明:因为是直三棱柱， 所以，又，即. 2分如图所示，建立空间直角坐标系.,，所以 ，. 4分又因为 ， 6分所以 ，平面. 7分（）解：由（）知，是平面的法向量， 9分 ， 10分则 . 12分 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13分20. （）证明：取中点，连
8、结， 1分因为是正三角形，所以.因为 四边形是直角梯形，ABECDPyxzO所以 四边形是平行四边形，又 ，所以 .所以 平面，3分所以 . 4分（）解：因为平面平面，所以平面，所以 . 5分如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. 则 ，. 所以 ,， 6分设平面的法向量为，则 ， 7分令，则,.所以. 8分同理求得平面的法向量为， 9分设平面与平面所成的锐二面角为，则. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 10分（）解：设，因为，所以，,.依题意 即 11分解得 ，. 12分符合点在三角形内的条件. 13分所以，存在点，使平面，此时.14分21.解：（）设过点的直线方程为，由 得. 2
9、分因为 ，且，所以，. 3分设，则，. 5分因为线段中点的横坐标等于，所以， 6分解得，符合题意. 7分（）依题意，直线， 8分又 ，所以 ， 9分 10分因为 ， 且同号，所以， 11分所以 ， 12分所以，直线恒过定点. 13分22. 解：（）由 得，解得或， 2分所以两点的坐标为和， 4分所以. 5分（）若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，因为，在线段上，所以，求得，6分所以的面积等于. 7分若B不是椭圆的左、右顶点，设，由 得， 8分， 所以，的中点的坐标为， 9分所以，代入椭圆方程，化简得. 10分计算 11分 . 12分 因为点到的距离. 13分所以，的面积. 综上，面积为常数. 14分
