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1、山西大学附中20162017学年高三第一学期10月（总第三次）模块诊断数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，且，则集合可能是（ ） A B C D2.复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）A B C D4.已知命题：，命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A B C D5.执行如图所示的程序框图,若输入的值为5, 则
2、输出的值为（ ）A 9 B10 C11 D12 6.已知数列中，为其前项和，的值为（ ）A B C D第5题图7.为了得到，只需将作如下变换（ ）A 向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D9.若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A B C D10. 在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）A个 B个 C个 D 个12. 已知，若在区间上有且只
3、有一个极值点，则的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中项的系数为 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中,角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小;（2）若,求
4、的面积.18.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：且的数学期望,求的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注： 产品的“性价
5、比”；“性价比”大的产品更具可购买性.19.（本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设,直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.21. （本小题满分12分）已知函数(常数).（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;（2）若函数存在两个极值点,证明:且请考生在22、23二题中任选一题作
6、答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式;（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.山西大学附中20162017学年高三第一学期10月（总第三次）模块诊断数学试题考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共6
7、0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ADCCC ACDDB（文科D） DA1.若集合，且，则集合可能是（ ） A B C D2.复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）A B C D4.已知命题：，命题：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A B C D5.执行如图所示的程序框图,若输入的值为5, 则输出的值为（ ）A 9 B10 C11 D12 6.已知数列中，为其前项和，的值为（ ）A B C D7.为了得到，只需将作如下变换（ ）A 向右平移个单
8、位 B向右平移个单位 第5题图C向左平移个单位 D向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D9.若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A B C D10. （理科）在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D（文科）在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）A个 B个 C个 D 个12. 已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（每题5分，满分20分
9、，将答案填在答题纸上）13. （文科） 14. 15. 16. 13. （理科） 的展开式中项的系数为 （文科）曲线在处的切线方程为 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（理科）（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲
10、厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：且的数学期望,求的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注： 产品的“性价比”；“性价比”大的产品更具可购买性.解：（1） ，即又由 的概率分布列得 由 得 （2）由已知得，样本的
11、频率分布表如下： 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 所以， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。 17. （本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中,角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小; （2）若,求的面积.（2）由得 由余弦定理得 即 .19.（理科）（本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,
12、平面平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角的余弦值.解：（1）连接，交于点，连接，则平面 证明：为中点，为中点为的中位线， 又平面平面，平面平面=,平面,平面 ， 又，平面所以平面 （2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，平面PEA平面PEA的法向量 另外，,设平面DPE的法向量，则，令，得又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 20. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，问
13、是否为定值？并证明你的结论.解：（1）由已知得：，由已知易得，解得，则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，又，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）21. （本小题满分12分）已知函数(常数).（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;（2）若函数存在两个极值点,证明:且解：依题意， 令，则. （1）当时，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点； 当时，由，故在 单调递增. 又，所以在有且只有一个零点. 3分 又注意到在的零点左侧，在的零点右侧，所以函
14、数在有且只有一个极值点. 综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 令得 ；令 得；令得.所以在单调递增，在单调递减， 6分又因为，所以必有. 令，解得， 8分此时 .因为是的两个零点，所以，. 将代数式视为以为自变量的函数则 .当时，因为，所以，则在单调递增.因为，所以，又因为，所以. 当时，因为，所以，则在单调递减，因为，所以. 综上知，且 12分请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标
15、系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.解：(1) ., 由,得, 所以曲线的直角坐标方程为,由,消去解得：.所以直线l的普通方程为. (2)把 代入, 整理得 ,设其两根分别为 ，则 .23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式;（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.解： （1）由得 ， ，解得 所以原不等式的解集为. （2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立所以 ，有，当且仅当时, 取等号,所以从而 或. 所以 实数的取值范围.
