常微分方程与中学数学的联系—数学本科毕业论文.doc

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1、目 录摘 要1ABSTRACT2第1章 常微分方程简介31.1常微分方程的发展31.2中学数学教师的业务学习（高等数学）现状3第2章 中学数学方程对常微分方程的基础作用42.1曲线切线意义与常微分方程几何解法42.2三角函数关系与常微分方程换元解法5第3章 常微分方程在中学数学中的指导作用63.1物体冷却问题63.2水池注水问题63.3用微分方程证明三角公式73.4求解初等函数方程83.5 Clairaut方程与曲线方程切线问题83.6 Lagrange常系数变易法与变元求异思维93.7用常微分方程确定初等函数的本质特征113.7.1幂函数113.7.2指数函数123.7.3对数函数133.7

2、.4正切函数14参考文献16致 谢17 摘 要本篇文章论述了常微分方程的发展历程及其与初等数学的相互作用，主要介绍了常微分方程与中学数学的若干联系，如曲线切线意义与常微分方程几何解法；三角函数关系与常微分方程换元解法；物体冷却、水池注水问题；用微分方程证明三角公式；Clairaut方程与曲线方程切线问题；用常微分方程确定初等函数的本质特征等问题。其中的一些方法技巧对于提高中学数学教师教学能力有一定的指导作用。关 键 词：微分方程；中学数学；代数方程；三角函数；初等函数ABSTRACT This article discusses the development of ordinary diff

3、erential equation and the interaction of elementary mathematics. Several links between ordinary differential equation and middle school mathematics are mainly introduced, such as the curve tangent meaning and geometric method of ordinary differential equation, the trigonometric function and substitu

4、tion method of ordinary differential equation solution; cooling objects, pool water problems; prove trigonometric formulas by differential equation, Clairaut equation and equation of a curve tangent problem, determine the elementary function nature problem for ordinary differential equations. Some o

5、f these methods and techniques for the improve of middle school mathematics teachers teaching ability has certain guiding role.Key words：Differential equation； Middle school mathematics； Algebraic equation； Trigonometric function； Elementary function第1章 常微分方程简介1.1常微分方程的发展 我国常微分方程领域的著名数学家秦元勋说：“常微分方程，

6、是一个有长期历史，而又不断在发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个即得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科。”可见常微分方程之重要。众所周知的是，常微分方程是微积分的扩展以及在其广泛应用刺激和推动下产生的新分支之一。 常微分方程理论的形成历程充满了曲折与艰辛。从1675年莱布尼茨(Leibniz G.W.,16461716)写下数学史上第一个方程,标志着常微分方程领域研究的开始1。此后的数学家们纷纷投入了研究这一方程的提出。300多年来，常微分方程诞生于数学与自然科学相结合的16、17

7、世纪，成长于生产实践和数学的发展进程中，表现出强大的生命力和活力，应用于各学科知识中2。 联系自变量、未知函数及其导数的关系式称为微分方程；常微分方程是只含有一个自变量的微分方程。自变量个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程3。1.2中学数学教师的业务学习（高等数学）现状 据有关调查，现在很多中学数学教师为了让学生学知识和提升他们的成绩，而把重点放在知识的传授和题海战术上，用这样的方式来完成他们的教学任务，向学生灌输知识。目前，从事高初结合思考和研究的人很少。如何运用高等数学的思想来解决中学数学的有关知识？中学数学的知识对高等数学又有什么基础作用呢？怀着这样的疑问，在搜集了各种文献资料和教

8、材的基础之上，本文主要对高等数学中常微分方程与中学数学之间的联系做了相应的总结。常微分方程与中学代数方程同属方程范畴，寻求常微分方程与中学数学方程的联系，不仅有利于常微分方程的学习，对指导中学数学代数方程教学有着重要的作用。第2章 中学数学方程对常微分方程的基础作用 方程作为解决实际问题的重要思想方法，历来就受到人们的重视，历史上，就有笛卡尔（Descartes,15961650）曾经设想过所谓的“万能方法”，即：把任何问题转化为数学问题把任何数学问题转化为代数问题把任何代数问题归结为解方程4。方程的共性，决定了代数方程的思想方法，与常微分方程具有通性。如代数方程的降次、变元方法，也成为学习微

9、分方程的基本方法5。2.1曲线切线意义与常微分方程几何解法常微分方程通过积分的形式求其通解，但不可积的函数，导致了常微分方程中存在大量不可解的方程，这就迫使人们对常微分方程进行定性研究。 例1：讨论一阶微分方程：. 由于方程的通解为积分曲线族，且积分曲线的每一点上的切线斜率函数的值。 于是，对斜率，由(等斜率)方程，给出方程的积分曲线图形。如对微分方程：，知这个正比例函数直线与斜率为的直线垂直，因此积分曲线就是与这些直线相切的同心圆： .2.2三角函数关系与常微分方程换元解法在解决数学问题时，换元思想是实现方程化归的重要途径，因此在常微分方程中，自变量所显示的特殊关系若选择合适的变换，就能达到

10、简化方程的目的。如对自变量所具有的“勾股”形式，完全可以通过三角函数关系简化其形式。 例26：求方程。解：令 由此可得 对上式积分，有 从而原方程的参数形式通解为 例37：切比雪夫方程： ().解：作三角变换：，则. 将及代入原方程，得： 即于是，通解为： ().第3章 常微分方程在中学数学中的指导作用 常微分方程作为代数方程自然发展和延续的学科，必然传承了中学代数方程的一些本质特征，形成高观点下的数学观，对中学数学有着重要的指导作用。比如代数方程求根问题，函数方程解法问题等8-9。下面就一些典型的问题加以举例说明。3.1物体冷却问题 例4：一个物体在冷却过程中，其温度变化速度与其本身的温度和

11、环境的温度之差成反比。现有一个1000C的物体，放在200C的房间里，经过20分钟后，物体的温度已降为600C，问还需要经过多长时间，物体的温度才能降为300C ？ 解：令为时间，为物体温度， 解得 当30时，60，经过60分钟后，物体的温度降为300C，即再经过60-20=40分钟后，物体的温度降为300C.3.2水池注水问题 例5:有一水池，若单独进水24小时可以灌满，若单独放水48小时可以排完，现同时进水和放水，多少小时可以灌满水池？分析:这是一个简单的中学数学应用题，我们用中学的思想来完成：解：若设水池容积为，水池灌满时刻为，建立中学代数方程： 即 （小时）但实际中，进水可为衡量，而排

12、水确实随水池水位下降流量不断减少。于是，对于深度为H的水池，单独进满水和排完水时间分别为他和，可建立Riccati微分方程：即 此时，当,则根本无法灌满水。微分方程方法，不仅能直接对特殊的问题给出解答，而且可通过对一般问题的解决最终揭示事物的本质。3.3 用微分方程证明三角公式 高中我们接触了众多的三角函数，作为中学数学的重要内容，在复数的范围内我们统一为Euler三角公式，我们先用微分方程方法给出证明。例6：证明欧拉三角公式：.证明：设复数，则有柯西问题： ，.于是，.同法，可证明其它三角公式。如三角中的和角公式：，. 由于微分方程：有特解：，.取. 再取，则 于是，公式得证。3.4求解初等

13、函数方程作为特殊的函数方程，具有代数的外在形式，又有内在的函数为其解，是函数方程成为代数方程与微分方程的结合点，引起人们的极大兴趣。函数方程的求解没有一般的方法，但对一些特殊的初等函数方程，利用导数的方法进行求解比较简单10。例7：设实函数二次多项式，并求其表达式。由于方程可化为微分方程：于是，其解为：.3.5 Clairaut方程与曲线方程切线问题曲线的切线问题，是解析几何的重要内容，而微分方程的克莱洛(Clairaut，17131765)方程，正好是研究曲线方程(奇解)和该曲线的所有切线方程(通解)的结构。因此很受历来数学家的重视。对于克莱洛方程：.(为常数).奇解从方程组：.消去参数获得

14、解形式： 例811：求一曲线，使其上每一点处切线的斜率与轴上的截距成倒数.解：设所求曲线方程为，则曲线上任意一点的切线方程可写成 其中为在轴上的截距，由题意得： 即 此系克莱洛方程，奇解的参数方程为 消去参数得到: 为所求的曲线方程。3.6 Lagrange常系数变易法与变元求异思维 常数变易法是微分方程中的一种特殊方法，在某些特定条件下简便易用，很多高等数学教材仅在一阶线性非齐次方程与二阶线性常系数齐次方程的特征方程有二重根时使用此方法12。而常系数变易法的思想在解中学数学题中应用非常广泛。对于常系数线性非齐次微分方程： (1)一般教材，都介绍拉格朗日(Lagrange,17361813)的

15、常系数变易法。 即若求得方程(1)对应的齐次方程： (2) 的通解： 1,2,) (3) 即将(3)中的常数(=1,2,)变为函数(=1,2,)，设方程(1)的解为： (4) 代入方程(1)，求其通解。 像这种将“常量”化为“变量”的变元求异思维，在数学发展史上，有着辉煌的篇章。17世纪解析几何产生和微积分的创立，是数学史乃至整个科学史的大事，变量数学的产生又反过来深深影响了常量数学的发展，内容上不仅得到极大的丰富，而且在思想方法上发生一连串深刻的变革。 如在常微分方程中，由关系式：，其中存在，求函数. 首先将视为变量，而将视为常量，得： .此时，取，得：.现有将视为变量，求得函数. 正是常微

16、分方程这种使变量和，所具有的对等性，决定了变量互相替换的局面。如对一阶隐方程：，当讨论形式：和时，由变量和的对等性，必然考虑形式：. 再如，我们对变系数线性微分方程：所得成果，也是通过常系数变易法取得。由于常系数线性微分方程(2),具有特解因此，将常数，则变系数方程特解为：.既有变系数线性微分方程的待定函数解法。常系数变易法这种变元求异思维，作为创新的基础，在发明创造中发挥重要作用。像分析中的微分中值定理的构造法，都是充分应用常系数变易法的结果。例9：设，解关于的不等式：.解：现取函数，将常数视为自变量，反将变元视为常数，则有关系：这正是凸函数的性质，既有时，不等式成立。但对于中学生，不妨将不

17、等式再变形为： 于是，利用定比分点公式，很易求得结果。例10：解方程 .分析：此题为关于的三元方程，直接求解相当困难。现不妨将视为“常量”，而反将看作“未知数”，则问题变为关于“”的一元二次方程。解：设,则有关于的方程： 则 （）于是 （) 或 （）从而，求得原方程的解：，.例1113：设为实数，试求出关于的方程的实根范围。分析：将原方程整理为关于的二次方程： 当为实数时，判别式大于或等于0，可解得.3.7用常微分方程确定初等函数的本质特征 我们知道某个函数方程的唯一解恰是某个基本初等函数，这说明该函数方程刻画了该基本初等函数特有的代数性质。因此，可以用函数方程(在一些附加条件下)来定义基本初

18、等函数14。3.7.1幂函数 引理1：设，都有 (1) 且不恒为常数，则必为幂函数。 证明：由(1)知，=0或1.由不恒为常数及(1)知，. 有导数定义可得 这是变量可分离方程，由(1)知，都有.变形得 ，既得为幂函数。由此引理，可得幂函数的一个充要条件。 定理1:函数为幂函数的充要条件为具有性质： (1)，且不恒为常数。证明：必要性 幂函数显然具有性质(1). 充分性 由引理1可得。 定理1说明公式(1)反映了幂函数的本质特征，即一个函数当且仅当它具有性质(1)时，该函数为幂函数。3.7.2指数函数引理215：设 (2) 且不恒为常数，则必为指数函数。待添加的隐藏文字内容2证明：由(2)知

19、，0或1.由不恒为常数及(2)知，1. 这是变量可分离方程，由(2)知，都有.变形得 既得(，)为指数函数由此引理，可得幂函数的一个充要条件。定理2：函数为指数函数的充要条件为具有性质： (2)且 证明：必要性 指数函数(，)显然具有性质(2). 充分性 由引理2可得。 定理2说明公式(2)反映了指数函数的本质特征，即一个函数当且仅当它具有性质(2)时，该函数为指数函数。3.7.3对数函数 引理3：设，都有 (3) 且，则必为对数函数。 证明：有(3)易知， 这是变量可分离方程，解得(，)，既得(，)为对数函数。 定理3：函数为对数函数的充要条件为具有性质： 设R+，都有 (3) 且.证明：必

20、要性 对数函数(，)显然具有性质(3). 充分性 由引理3可得。 定理3说明公式(3)反映了对数函数的本质特征，即一个函数当且仅当它具有性质(3)时，该函数为对数函数。3.7.4正切函数 引理4：设，其中为任意整数，当时，都有 (4) 且则必为正切函数。 证明：在(4)中令 得 ，易知，. 这是变量可分离方程，解得故为正切函数。 定理4：函数为正切函数的充要条件为具有性质： 设R，其中为任意整数，当时，都有 (4) 且.证明：必要性 正切函数显然具有性质(4). 充分性 由引理4可得。 定理4说明公式(4)反映了正切函数的本质特征，即一个函数当且仅当它具有性质(4)时，该函数为正切函数。参考文

21、献 1任瑞芳，袁敏.莱布尼茨微分方程思想研究J.西北大学学报(自然科学版)，2009,39(4):716720. 2王庆东,侯海军.常微分方程的数学思想方法J.商丘师范学院学报，2003，19(2):125127.3王高雄,周之铭等.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2009:16. 4赵临龙.常微分方程的思想方法及在中学数学中的应用J.安康师专学报，2000，12(2):4752. 5赵临龙,张祥生.常微分方程与中学数学的关联J.安康师专学报，1999，11(2):7983.6吴景珠.浅谈常微分方程中的换元思想J.高等数学研究，2007，10(4):124128.7李友海.巧用微分方程的三

22、角变换解方程J.安康师专学报,1997,(2):8788.8袁兆鼎,宋晓秋.常微分方程与代数方程求根问题J.系统仿真学报，2003，15(5):656663.9徐凤林,张秀丽.几类函数方程的解法J.山东轻工业学院学报,2007，21(2):9091.10悉传志.利用导数求解初等函数方程J.山东师范大学学报(自然科学版)，2006，21(2):127128.11马俊青.利用克莱洛方程求二次曲线J.甘肃联合大学学报(自然科学版)，2005，19(3):911.12徐新荣.关于常微分方程的常数变易法J.林区教学，2011，(8):111112.13徐章韬.初等数学中的几种常数变易法J.数学教学,20

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